Polynômes de AB et BA
Bonjour,
J'ai regardé sur Maple avec la fonction RandMatrix le comportement des polynômes minimaux et caractéristiques des matrices $AB$ et $BA$, lorsque $A$ et $B$ sont deux matrices de $M_n(K)$ ($K$ étant un corps quelconque, pouvant être fini/infini, de caractéristique 0 ou non).
Il semble que le polynôme caractéristique de $AB$ est égal au polynôme caractéristique de $AB$, et que le polynôme minimal de $AB$ est égal à celui de $BA$.
Je n'arrive pas à démontrer ces résultats dans le cas général.
Lorsque l'une des matrices est inversible, j'y arrive, mais dans le cas où les deux matrices ne sont pas inversibles, ça reste le trou noir.
J'ai réussi seulement à montrer dans le cas général que tout valeur propre de $AB$ est aussi valeur propre de $BA$ et inversement...
Si vous avez une piste, cela m'aiderait à poursuivre dans ma recherche.
J'ai regardé sur Maple avec la fonction RandMatrix le comportement des polynômes minimaux et caractéristiques des matrices $AB$ et $BA$, lorsque $A$ et $B$ sont deux matrices de $M_n(K)$ ($K$ étant un corps quelconque, pouvant être fini/infini, de caractéristique 0 ou non).
Il semble que le polynôme caractéristique de $AB$ est égal au polynôme caractéristique de $AB$, et que le polynôme minimal de $AB$ est égal à celui de $BA$.
Je n'arrive pas à démontrer ces résultats dans le cas général.
Lorsque l'une des matrices est inversible, j'y arrive, mais dans le cas où les deux matrices ne sont pas inversibles, ça reste le trou noir.
J'ai réussi seulement à montrer dans le cas général que tout valeur propre de $AB$ est aussi valeur propre de $BA$ et inversement...
Si vous avez une piste, cela m'aiderait à poursuivre dans ma recherche.
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Réponses
Ne pourrait-on pas utiliser un argument de densité ?
Si le corps de base est R ou C, tu peut procéder par densité des matrices inversibles dans Mn(K).
Si K est quelconque, c'est plus compliqué :
Soit A, B dans Mn(K). Quitte à remplacer K par une extension de ardinal infini, par exemple K(X), on peut supposer K infini. Soit x dans K. On considère l'application qui à t associe det((A+t.I)B - x.I) - det(B(A+t.I) -x.I), qui est polynomiale en t. On est ainsi ramené à prouver qu'il y a une infinité de matrices inversibles de la forme A+t.I (le corps K est infini), ceci prouvera que ce polynôme est nul, donc sa valeur en 0 est nulle, ce qui montre le résultat cherché. Or en considérant le determinant de A+ t.I, on conclut facilement.
Lebesgue
citation : "le polynôme minimal de $ AB$ est égal à celui de $ BA$. "
Si AB=0, on a pas forcement BA=0.
par contre si AB est inversible alors les polynômes minimums sont égaux.
Sinon on montre facilement que les polynomes minimaux n'ont pas d'autres choix que :
$\Pi_{AB}=\Pi_{BA}$
ou $\Pi_{AB}=X\Pi_{BA}$
ou $X\Pi_{AB}=\Pi_{BA}$
ça se montre dans tout corps en remarquant que si P annule AB alors XP annule BA