equation-matrices

Salut,

A la bourrin, on pose
$$X=\left(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}
\right).$$
Tous calculs faits, on obtient
$a=d$ et $b=c=\frac{1}{(2a+1)^2}$. Donc
$$a^2+a+\frac{1}{(2a+1)^2}=1.$$
Si on travaille dans $\mathcal{M}_{2}(\R)$, on voit facilement qu'il n'y pas de solution.
Dans $\mathcal{M}_2(\C)$, on obtient que
$$a\in\{
-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\,\sqrt {10+2\,i\sqrt {7}},\,
-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\,\sqrt {10+2\,i\sqrt {7}},\,
-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\,\sqrt {10-2\,i\sqrt {7}},\,
-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\,\sqrt {10-2\,i\sqrt {7}}\}.$$
Il ne reste plus qu'a vérifier quelles solutions marchent.

Joaopa

Joaopa> il me semble qu'il y a quelques erreuts de calculs.

Sinon, plusieurs méthodes possibles :

1) $A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$ a pour polynôme caractéristique $c_A(x) = x^2 - 2x$. Le théorème de Cayley fournit $c_A(X^2 + X) = 0$, et ainsi le polynôme $x(x-1)(x+1)(x+2)$ est annulateur de $X$, qui est diagoonalisable, et on recherche alors $X$ par sa forme diagonale...

2) Toujours par le théorème de Cayley-Hamilton, mais pour $X$ cette fois :
$$X^2 = \text{tr}(X) - \text{det}(X)I$$
En posant $t = \text{tr}(X)$ et $d = \text{det}(X)$, l'équation se met sous la forme
$$(t+1)X - dI = A$$
$t+1 = 0$ conduit à $-dI = A$ qui est impossible, donc $t+1 \neq 0$ et les solutions sont les matrices de la forme $\dfrac{d}{t+1}I + \dfrac{1}{t+1}A$ qui admettent $t$ pour trace et $d$ pour déterminant, d'où les solutions
$$\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \quad \left(\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{array}\right) \quad \left(\begin{array}{cc} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array}\right) \quad \left(\begin{array}{cc} -\dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{3}{2} \end{array}\right)$$

rebonjour

nous avons trouvé gb et moi quatre racines réelles en X de l'équation de georges X²+X=A matrice 2x2 telle que A²=2A

les quatre racines étant combinaison linéaire de A et I (on peut montrer que ce sont les seules dans ce cas)

on peut généraliser l'équation matricielle de georges avec
X²+mX=A (matrice 2x2 telle que A²=rA avec m et r complexes)
(A matrice singulière de valeurs propres 0 et r différent de 0)

cherchons les solutions particulières en X de la forme X=aA+bI
(a et b complexes) il vient dans l'équation matricielle:

A(ra²+2ab+ma-1)+bI(b+m)=0 quelle que soit A de valeurs propres 0 et r

il faut donc b(b+m)=0 soit deux valeurs en b:

b=0 et alors ra²+ma-1=0 et donc a=[-m+ou-rac(m²+r)]2r
b=-m et alors ra²-am-1=0 et donc a=[m+ou-rac(m²+r)]/2r

nous trouvons là aussi 4 racines en X forme linéaire de A et I :

X=A.[-m+ou-rac(m²+r)]/2r et
X=A.[m+ou-rac(m²+r)]/2r - mI

cordialement