Décomposition OT
Bonjour,
Je me perd dans les terminologies... Et je pense ne pas être le seul au vue de ce que je trouve sur le net.
Comment s'appelle la décomposition d'une matrice $M \in GL_n(\R)$ en $OT$, avec $O$ orthogonale et $T$ triangulaire supérieure (eventuellement à coefficients diagonaux positifs) ?
Au début, j'étais sûr que c'était "décomposition d'Iwasawa", puis le prof a sorti "de Cartan", puis je lis dans le Mneimné-Testard "Polaire"... Qui est qui ?
Pour la preuve, j'en connais une démonstration qui considère ${}^{t}MM$, mais elle me semble artificielle (et $T$ est alors définie positive, ce qui, je crois, n'est pas pareil que triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs. En tout cas, on a pas fait le lien en cours).
Pouvez-vous me dire si la suivante est bonne (ie : elle n'utilise que le programme de spé, et serait utilisable dans une copie) ?
Démo : $A \in GL_n(\R) \Leftrightarrow \det A \neq 0$.
Donc si on écrit en colonnes, $A = (c_1|...|c_n)$, la famille $(c_i)_{1\leq i \leq n}$ forme une base de $E$. En utilisant le procédé de Gram-Schmidt, on obtient une base orthonormée $(e_k)_{1 \leq k \leq n}$ vérifiant :
$$\begin{array}{ccc}
e_1 & = & \lambda_{11} c_1 \\
e_2 & = & \lambda_{22} c_2 - \lambda_{12}e_1 \\
e_3 & = & \lambda_{33} c_3 - \lambda_{23}e_2 - \lambda_{13} e_1\\
\vdots \\
\end{array} $$
Dont la matrice de passage $T$ de $c$ à $e$ est triangulaire supérieure (c'est celle qui correspond au système écrit ci-dessus) :
$$
\left( \begin{array}{cccc}
\lambda_{11} & -\lambda_{12} \lambda_{11} & \ldots & \ldots \\
0 & \lambda_{22} & \ldots & \ldots \\
0 & 0 & \lambda_{33} & \ldots \\
\end{array}\right)
$$
Et l'on vérifie que $AT = (e_1 |... |e_n) = O$ qui est orthogonale par construction. Dont $A = OT^{-1}$ , $T^{-1}$, qui est inversible par construction, restant triangulaire supérieure.
On a donc obtenu la forme voulue. Est-ce correct ?
On peut d'ailleurs au besoin imposer aux coefficients diagonaux d'êtres positifs, strictement, sans modifier la démonstration, et obtenir du même coup l'unicité.
Merci
Cordialement
Je me perd dans les terminologies... Et je pense ne pas être le seul au vue de ce que je trouve sur le net.
Comment s'appelle la décomposition d'une matrice $M \in GL_n(\R)$ en $OT$, avec $O$ orthogonale et $T$ triangulaire supérieure (eventuellement à coefficients diagonaux positifs) ?
Au début, j'étais sûr que c'était "décomposition d'Iwasawa", puis le prof a sorti "de Cartan", puis je lis dans le Mneimné-Testard "Polaire"... Qui est qui ?
Pour la preuve, j'en connais une démonstration qui considère ${}^{t}MM$, mais elle me semble artificielle (et $T$ est alors définie positive, ce qui, je crois, n'est pas pareil que triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs. En tout cas, on a pas fait le lien en cours).
Pouvez-vous me dire si la suivante est bonne (ie : elle n'utilise que le programme de spé, et serait utilisable dans une copie) ?
Démo : $A \in GL_n(\R) \Leftrightarrow \det A \neq 0$.
Donc si on écrit en colonnes, $A = (c_1|...|c_n)$, la famille $(c_i)_{1\leq i \leq n}$ forme une base de $E$. En utilisant le procédé de Gram-Schmidt, on obtient une base orthonormée $(e_k)_{1 \leq k \leq n}$ vérifiant :
$$\begin{array}{ccc}
e_1 & = & \lambda_{11} c_1 \\
e_2 & = & \lambda_{22} c_2 - \lambda_{12}e_1 \\
e_3 & = & \lambda_{33} c_3 - \lambda_{23}e_2 - \lambda_{13} e_1\\
\vdots \\
\end{array} $$
Dont la matrice de passage $T$ de $c$ à $e$ est triangulaire supérieure (c'est celle qui correspond au système écrit ci-dessus) :
$$
\left( \begin{array}{cccc}
\lambda_{11} & -\lambda_{12} \lambda_{11} & \ldots & \ldots \\
0 & \lambda_{22} & \ldots & \ldots \\
0 & 0 & \lambda_{33} & \ldots \\
\end{array}\right)
$$
Et l'on vérifie que $AT = (e_1 |... |e_n) = O$ qui est orthogonale par construction. Dont $A = OT^{-1}$ , $T^{-1}$, qui est inversible par construction, restant triangulaire supérieure.
On a donc obtenu la forme voulue. Est-ce correct ?
On peut d'ailleurs au besoin imposer aux coefficients diagonaux d'êtres positifs, strictement, sans modifier la démonstration, et obtenir du même coup l'unicité.
Merci
Cordialement
Réponses
-
Pour moi, on a :
1. {\bf Polaire}.
Pour toute matrice $M \in \mbox {GL}(n,\R)$, on a $M = OS$ avec $O$ orthogonale et $S$ symétrique définie positive.
2. {\bf Iwasawa}.
Pour toute matrice $M \in \mbox {SL}(n,\R)$, on a $M = RDU$ avec $R \in \mbox {SO}(n)$, $D \in \mbox {SD}(n,\R)$ et $U$ unipotente supérieure.
3. {\bf Cartan}.
Pour toute matrice $M \in \mbox {SL}(n,\R)$, on a $M = R_1DR_2$ avec $(R_1,R_2) \in (\mbox {SO}(n))^2$ et $D \in \mbox {SD}(n,\R)$.
Ainsi, ta décomposition ressemblerait plutôt à celle de {\it Bruhat}, qui donne $M \in \mbox {GL}(2,\R)$ telle que $M = UPT$ avec $U$ unipotente supérieure, $P$ matrice de permutation et $T$ triangulaire supérieure.
Borde. -
La décomposition OT (orthogonale triangulaire) s'appelle aussi la décomposition QR et la démo que tu proposes ici est juste.
La décomposition d'Iwasawa appelé aussi décomposition KAN (ou aussi Décomposition de Cartan mais sans doute seulement en France) est un corollaire trivial de la décomposition OT. Elle dit qu'une matrice inversible peut s'écrire ODU avec O orthogonale D diagonale et U triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale (avec le même genre de propriété d'unicité si on demande au coeff de D d'être positif). (Rq : Le U est pour unipotente).
La démo est trivial à partir de OT. Le O est le même dans les deux cas et
il suffit de voir qu'une matrice triangulaire (inversible) supérieure peut s'écrire DU avec D diagonale et U triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. La diagonale D est en fait la même que la matrice T et les lignes de U sont diviser par le coefficient correspondant de D : ca se voit tout de suite par les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.
En fait la décomposition d'Iwasawa est un résultat beaucoup plus général sur les groupes de Lie qui s'écrit de cette facon pour le groupe de Lie
GL(n,R).
La proximité entre OT et Iwasawa incite donc les auteurs à le confondre ce qui n'est pas forcément évident quand on apprend mais quand on sait c'est beaucoup plus simple de confondre deux choses si proche.
Pour Résumer OT (presque=) Iwasawa et OT = version matriciel de Gram-Schmidt.
Passons à présent à la décomposition polaire parfois (rarement ?) appelé OS avec O comme orthogonale et S comme symétrique définie positive (si la matrice de départ est inversible) et S comme symétrique positive (sinon).
La démo se fait effectivement avec le coup du produit de la matrice et de sa transposée.
Il n' y a de manière général aucun lien entre OT et OS : une matrice symétrique est rarement triangulaire :-)
On voit donc tout de suite que si le T de OT est diagonale alors il est symétrique et définie positive (puisque le coeff diagonaux de T sont positifs) et donc OT et OS c'est la même chose.
De même si le S de OS est diagonale il est triangulaire supérieure à coeff strictement positif et donc OS et OT coïncident.
En dehors de ca, il n'y a pas de lien...
Bon courage
Vincent -
Merci pour vos réponses.
Borde : Je ne vois pas bien le lien entre la décomposition que je "propose" et celle de Bruhat. Peut être parce je ne sais pas bien ce qu'est "unipotente" (google me renvoit sur des trucs compliqués...). Et j'ai le souvenir que la décomposition de Bruhat est du genre très difficile à démontrer (il me semble que Demazure l'avait proposé en exo d'oral à Ulm, exo qui avait fait des ravages, même parmis les admis...).
Vincent, merci de confirmer ma preuve, et pour cette explication limpide.
Merci à vous
Cordialement -
C'est la seule où il y a une matrice triangulaire supérieure...et c'est effectivement une décomposition difficile.
Pour les matrices unipotentes sup, ce sont les matrices trigonales sup avec des $1$ sur la diagonale.
Borde. -
La décomposition de Bruhat (qui est effectivement différente de Gram-Schmidt) n'est pas si difficile que ça : c'est, à peu de choses près, la méthode du pivot de Gauss.
Rappelons que faire des opérations sur des lignes (colonnes) d'une matrice, c'est la multiplier à gauche (droite) par une matrice élémentaire. Ici, on ne veut utiliser que des matrices élémentaires qui soient triangulaires supérieures, donc en termes d'opérations, on peut seulement multiplier une ligne (colonne) par une constante, et ajouter à une ligne (colonne) un multiple d'une autre qui est en-dessous (à gauche).
Étant donnée une matrice inversible A, on cherche alors, successivement dans chaque colonne, le dernier coefficient non nul, et on l'utilise comme pivot pour nettoyer au-dessus et à droite. En réfléchissant deux secondes, on voit qu'il ne restera rien non plus à gauche ni en-dessous des pivots. À la fin, on se retrouvera donc avec une matrice de permutation P, d'où la décomposition de Bruhat A=UPT avec U,T triangulaires supérieures. De plus, on peut par exemple décider de toujours ramener les pivots à 1 par des opérations sur les colonnes uniquement ; du coup, seule T pourra avoir autre chose que des 1 sur la diagonale, et U sera unipotente. -
Hmmm tu as raison borde, quel idiot !
Vu comme ça Erlangen, ça a l'air plus simple. Même si je me vois encore difficilement y arriver.
Merci
Cordialement -
Merci, Erlangen.
Borde. -
Me revoici, pour la décomposition de Cholesky.
On démontre donc par récurrence que $A= {}^{t}TT$ avec $T$ triangulaire supérieure et $A$ positive. Si l'on impose que la matrice triangulaire ait ses coefficients diagonaux positifs, alors on a unicité.
Mais comment montre-t-on cette unicité ? J'ai essayé avec les sous-espaces propres (en essayant de les égaliser), en diagonalisant $A$ (on se retrouve avec ${}^{t}(PT) PT = D$ où $P$ est la matrice de passage orthogonale, et $D$ diagonale à coefficients positifs ou nuls), mais ça n'aboutit pas...
Une indication ?
Merci
Cordialemet -
Pour l'unicité de Choleski la transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire inférieure dont les coefficients diagonaux sont les mêmes et le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure (de même avec inférieure)
On ecrit ${}^{t}TT = {}^{t}T'T'$ d'où
${}^{t}(TT'^{-1}) = {}^{t}T'^{-1}{}^{t}T= T'T^{-1}$.
Le premier membre est triangulaire inférieur et le dernier triangulaire supérieur. Ils sont donc diagonaux et on peut facilement calculer la diagonale en fonction de celles de T et T'.
En comparant les deux diagonales (celle du premier membre et celle du dernier membre). On obtient que cette diagonale est sa propre inverse avec des coefficients et à terme positif: c'est l'identité.
J'espère que c'est assez clair.
Bon courage
Vincent -
Très. Comme d'habitude, quand on voit la solution, on se demande pourquoi on y a pas pensé...
Merci
Cordialement -
D'une manière général, naos, tu remarqueras que la propriété d'unicité des differentes décompositions se font presque toujours pareils :
On écrit deux décompositions et on regroupe du même coté du signe égal les matrices de même type. D'un coté, on a une matrice d'un type qui ne "peut" pas celle des matrices de l'autre coté.
OT = O'T' on met les O d'un coté et les T de l'autre et triangulaire et orthogonal = "impossible".
Vincent -
C'est exactement ce que j 'allais dire en te demandant si par hasard il n'y avait pas une démonstration plus originale et expéditive de l'unicité dans certains cas...
En fait, je rédigeais la démonstration pour la décomposition d'Iwasawa (justement pour me faire la main), et je me demandais si l'unicité du couple DU ne pouvait pas être déduite de celle de T (dans OT) ? Bref, un argument qui évite de faire la démonstration classique, histoire d'être un peu original.
Merci
Cordialement -
Désolé Naos, je ne connais pas d'autres démonstrations des unicités (sauf pour la polaire).
Vincent -
matrices triangulaire inferieur
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Bonjour!
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