Action sur un groupe

Je répond à la question de Roymiller ici car AD a fermé le fil sous le prétexte que c'est la même question. En fait, ce n'est pas tout à fait vrai car il me semble que Roymiller s'interroge plutôt sur la réciproque de la question de ce fil qu'à la question de ce fil.

Je rappelle la question :

"J'aimerais savoir si dire que $\textrm{Stab}(x)$ et $\textrm{Stab}(y)$ sont conjugués revient à dire que $\textrm{orb}(x) = \textrm{orb}(y)$ où $x$ et $y$ sont deux éléments d'un $G$-ensemble $E$ avec $y \inE$.

Etudiant en deuxième année à l'école normale supérieure du Cameroun, filière mathématiques"

On parle d'action de groupe sur un ensemble et non d'action sur un groupe. Bref!

La réponse à ta question est non. Un contre-exemple simple est de considérer l'action triviale d'un groupe $G$ sur un ensemble qui a au moins deux éléments.
On a : $\forall x \in E \ \textrm{Stab}(x)=G \textrm{ et Orb}(x)=\{x\}$.
Les stabilisateurs de tous les éléments sont conjugués mais leurs orbites respectives sont toutes distinctes.

AD> Je suis tout à fait d'accord.

Prends $a \in S$ et $g \notin S$. Alors $(ga)S=gS \neq aS$ donc l'application $xS \mapsto gxS$ n'est pas l'identité et le noyau de l'action n'est pas $G$ tout entier.

Bonsoir Roymiller

Je suppose que tu définis : $\theta : G\times E \rightarrow E$ l'action de $G$ sur $E$.
Par définition de l'action sur $E$, on a les axiomes
$\forall x\in E,\ \theta(1,x)=x$
$\forall x\in E,\ \forall g,h\in G,\ \theta(gh,x) = \theta\big(g,\theta(h,x)\big)$

Soit maintenant $y\in orb(x)$, c'est à dire $\exists g\in G,\ y=\theta(g,x)$
On veut montrer que $Stab(y)=gStab(x)g^{-1}$
Pour cela, on part comme tu fais de $h\in Stab(x)$ c'est à dire $x = \theta(h,x)\qquad(1)$
Mais on avait $y=\theta(g,x)$ et donc en composant par $g^{-1}$ à gauche :
$\theta(g^{-1},y) = \theta\big(g^{-1},\theta(g,x)\big) = \theta(g^{-1}g,x)=\theta(1,x)=x$ c'est à dire $x=\theta(g^{-1},y)$
En remplaçant dans $(1) : \theta(g^{-1},y) = \theta\big(h,\theta(g^{-1},y)\big) = \theta(hg^{-1},y) $
Et maintenant composons par $g$ à gauche :
$\theta\big( g,\theta(g^{-1},y)\big) =\theta\big( g, \theta(hg^{-1},y)\big)$
$y = \theta(ghg^{-1},y)$, ou encore $ghg^{-1}\in Stab(y)$
Comme $h$ est pris quelconque dans $Stab(x)$ on obtient :
$g Stab(x)g^{-1} \subset Stab(y)$
Pour la réciproque, il suffit de faire la même démonstration en partant de $k\in Stab(y)$ et d'utiliser la relation $y=\theta(g,x)$, pour obtenir finalement
$g^{-1} Stab(y)g \subset Stab(x)$ qui s'écrit (en composant par $g$ à gauche et $g^{-1}$ à droite) :
$Stab(y) \subset g Stab(x)g^{-1}$
Ce qui permet de conclure à l'égalité $Stab(y) = g Stab(x)g^{-1}$ de ces deux sous-groupes de $G$.

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Bref on se rend compte que la présence de $\theta$ n'apporte rien au raisonnement, et que si on note cette application $\theta$ comme l'opérateur '.' entre éléments de $G$ (à gauche) et de $E$ (à droite) :
$\theta(g,x)$ est noté $g.x$, les 2 axiomes de l'action de groupe :
$\forall x\in E,\ \theta(1,x)=x$ s'écrit $\forall x\in E,\ 1.x=x$
$\forall x\in E,\ \forall g,h\in G,\ \theta(gh,x) = \theta\big(g,\theta(h,x)\big)$ s'écrit plus simplement $\forall x\in E,\ \forall g,h\in G,\ gh.x = g.(h.x)$
Ce qui est de manipulation plus aisée.

Alain