Réseaux

Salut,

Question intéressante... Il me semble que ça revient à montrer que tout vecteur à coefficients entiers globalement premiers entre eux peut être une colonne dans une matrice de $SL(\Z)$, c'est peut-être plus facile comme ça.

Ouais Toto mais c'est déjà contenu dans "de norme minimale".

Voici une piste. Je pense qu'elle devrait marcher, mais il y a des détails à remplir.

Soit v1 ce vecteur de norme minimale. La première étape est facile : v1 forme déjà une base de l'intersection du réseau et de la droite (réelle) engendrée par v1 : sinon, il y aurait un vecteur u1 colinéaire à v1 mais non multiple entier de v1, d'où, en soustrayant de u1 un multiple entier convenable de v1, un vecteur plus court que v1 dans le réseau ; contradiction.

Ensuite, on prend un vecteur v2 de norme minimale dans le réseau privé de Z.v1 et on fait le même raisonnement : si, dans le plan engendré par v1 et v2, il y avait un vecteur u2 du réseau en-dehors de Z.v1+Z.v2, il se trouverait dans une "maille" du réseau ; reste à montrer - et voilà les détails que j'omets lâchement - que la distance entre u2 et le sommet le plus proche de cette maille est inférieure à la longueur de v2.

Ensuite on prend v3 de longueur minimale dans le réseau privé de Z.v1+Z.v2, etc. A un moment donné, on ne peut plus construire v(k+1), et alors v1,...,vk est une base du réseau.

Je vais commencer par deux exemples, trois en comptant un trivial.

Pour les r\'eseaux de rang 1, comme l'a dit implicitement Zinneke, rien \`a faire puisqu'un vecteur de norme minimale $v$ est \'egal \`a $+/- e$, o\`u $e$ est un g\'en\'erateur.

Maintenant supposons que $v$ s'\'ecrive $12 e_1 - 7 e_2 $, o\`u $e_1, e_2$ est une base d'un r\'eseau $Z$ de rang 2. Cette \'ecriture est {\bf{plausible}} car si $v$ est de norme minimale, les coefficients doivent \^etre premiers entre eux (ce qui est le cas pour 12 et 7). On \'ecrit
$$ \begin{array}{lllllcc}
v & = 12 e_1 - 7 e_2 \\
& = 5 e_1 + 7 (e_1 - e_2) \\
& = 5 e_1 + 7 e_{2}^{'} \\
& = 5 (e_1 + e_{2}^{'}) + 2 e_{2}^{'} \\
& = (e_1 + e_{2}^{'}) + 2 (2 e_1 + 3 e_{2}^{'}) \\
\end{array} $$

Si donc on prend $v$ et $2 e_1 + 3 e_{2}^{'} = 5 e_1 - 3 e_2$, on obtient le vecteur $e_{1} + e_{2}^{'} = 2 e_{1} - e_{2}$, et finalement $e_1$ et $e_2$. Autrement dit $(v, 5 e_1 - 3 e_2)$ est une base de $Z$.

Les op\'erations que nous avons faites consistent simplement en l'application de l'algorithme d'Euclide: on a fait la division euclidienne de 12 par 7, reste 5, puis celle de $7$ par $5$, reste $2$, puis celle de $5$ par $2$, reste 1, pour obtenir un vecteur avec un coeffcient 1 devant qu'on peut exprimer en fonction des autres.

Regardons un exemple en rang 3 et appliquons l'algorithme d'Euclide comme ci-dessus.
$$ \begin{array}{lllllcc}
v & = 15 e_1 - 6 e_2 + 10 e_3 \\
& = 3 e_1 + 6 (2 e_1 - e_2) + 10 e_3 \\
& = 3 e_1 + 6 e_{1}^{'} + 10 e_3 \\
& = 6 e_{1}^{'} + 3 (e_1 + 3 e_3) + e_3 \\
& = 6 e_{1}^{'} + 3 e_{2}^{'} + e_3 \\
\end{array} $$

Avec les vecteurs $(v, e_{1}^{'}, e_{2}^{'}) = (v, 2 e_1 - e_2, e_1 + 3 e_3)$, on retrouve donc $e_3$, puis $e_1$, puis $e_2$. Autrement on obtient une base de $Z$.

La bonne hypoth\`ese me semble donc que le vecteur $v$ puisse s\'ecrire comme combinaison lin\'eaire de vecteurs d'une base avec des coefficients de pgcd 1. En particulier, lorsque $v$ est de norme minimale, c'est v\'erifi\'e.

On peut amorcer une r\'ecurrence en rang quelconque: supposons que $v$ s\'ecrive $\sum_{i} a_i e_i$ avec pgcd ($a_i ) = 1$. On utilise la transitivit\'e
$$ \mathrm{pgcd}(a_1 , ..., a_n) = ((...\mathrm{pgcd}((\mathrm{pgcd}(a_1 , a_2), a_3)..) $$
Je reviendrai un peu plus tard avec une r\'edaction j'esp\`ere.