Formes quadratiques
dans Algèbre
Bonsoir,
J'ai plusieurs questions. Tout d'abord un problème de définition. Dans mon cours je lis : une forme quadratique q est anisotrope si : q(x)=0 => x=0. Dans un bouquin, je lis : on dit que q est anisotrope si le cône isotrope est réduit au radical de q. Or dans mon cours anisotrope signifierait cône isotrope réduit à {0}...
Question 2. Pourriez vous me montrer un exemple de calcul de l'indice de Witt ? La définition est très théorique et pourtant le calcul a l'air simple mais mon prof balance le résultat sans justification.
Question 3. Qu'est ce que "l'ensemble des classes d'isomorphies" ? La question complète est : donner l'ensemble des classes d'isomorphies de (D, q|D) où D C R^5 est une droite vectorielle et q=x1x2+x2x3+...+x5x1. La question suivante demande de donner l'ensemble des orbites de l'action de O(q) sur l'ensemble des droites vectorielles de R^5. Je ne sais vraiment pas comment faire cela.
Merci pour votre aide.
J'ai plusieurs questions. Tout d'abord un problème de définition. Dans mon cours je lis : une forme quadratique q est anisotrope si : q(x)=0 => x=0. Dans un bouquin, je lis : on dit que q est anisotrope si le cône isotrope est réduit au radical de q. Or dans mon cours anisotrope signifierait cône isotrope réduit à {0}...
Question 2. Pourriez vous me montrer un exemple de calcul de l'indice de Witt ? La définition est très théorique et pourtant le calcul a l'air simple mais mon prof balance le résultat sans justification.
Question 3. Qu'est ce que "l'ensemble des classes d'isomorphies" ? La question complète est : donner l'ensemble des classes d'isomorphies de (D, q|D) où D C R^5 est une droite vectorielle et q=x1x2+x2x3+...+x5x1. La question suivante demande de donner l'ensemble des orbites de l'action de O(q) sur l'ensemble des droites vectorielles de R^5. Je ne sais vraiment pas comment faire cela.
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Réponses
1)La déf. classique est celle de ton cours. Néanmoins, si tu travailles avec des formes quadratiques dégénérées, il convient sans doute d'éliminer les "faux" vecteurs isotropes, d'où la deuxième déf. qui est plus générale. Les deux définitions coïncident lorsque la forme est non-dégénérée (puisque dans ce cas, le radical est nul).
Exemple: Soit $q: (x,y)\in\R^2\mapsto x^2\in\R$. Alors le cône isotrope est l'ensemble des vecteurs $(0,y), y\in\R$. Par contre, $q$ est anisotrope, car tous ces vecteurs sont contenus dans le radical de $q$ (je te laisse vérifier).
2) Il est très difficile de calculer l'indice de Witt d'une forme quadratique sur un corps quelconque. Lorsque le corps de base est $\R,\C$ ou un corps fini, ca va, mais sinon le problème est extrêmement difficile.
Sur $\mathb{Q}$, on peut aussi s'en sortir, du moins en théorie.
Greg
Greg
Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
Dans l'exercice qui me pose problème, la forme quadratique est q(x,y)=x²+5y² définie sur K² où K=Z/7Z. L'indice de Witt est 1. Pourquoi ?
Je ne sais pas comment tu as defini l'indice de Witt dans ton cours. Je suppose que tu vois ca comme la dimension d'un sous-espace totalement isotrope de dimension maximale.
On sait qu'un tel sous-espace sera de dimension inferieure ou egale a
$dim(V)/2$, ou $(V,q) $ est ta forme quadratique de depart.
Donc ici, l'indice de Witt est au plus 1.
Mais tu as un vecteur isotrope, qui est $v=(3,1)$. Donc l'indice de Witt de q est au moins $1$ (l'espace $Kv$ est totalement isotrope).
Donc ici l'indice de Witt est $1$.
Je m'apercois que j'ai oublie de repondre a la question 3. Sur l'ensemble des formes quadratiques, tu as une relation d'equivalence "etre isomorphe". Tu dois avoir la definition de deux formes quadratiques isomorphes dans ton cours. Une "classe d'isomorphie" est une classe d'equivalence pour cette relation. Donc en fait, dans ta question, tu dois decrire toutes les formes quadratiques, a isomorphisme pres(Autrement dit, tu identifies celles qui sont isomorphes).
Pour resoudre ta question, soit $v\in D$ un vecteur non nul de ta droite, donc $D=\R v$. La restriction de $q$ a $D$ sera la forme quadratique $$\lambda\in\R\mapsto q(v)\lambda^2\in\R.$$
Vois-tu pourquoi?
Trois cas se presentent, soit $q(v)=0$, auquel cas la restriction de $q$ a $D$ est nulle, soit $q(v)>0$ et dans ce cas, je te laisse montrer que la forme quadratique obtenue est isomorphe a
$$\lambda\in\R\mapsto \lambda^2\in\R,$$
soit $q(v)
Pour l'isomorphisme de 2 formes quadratiques, j'ai surtout retenu la caractérisation matricielle qui dit qu'il existe P inversible telle que M'=tP.M.P. Mais c'est une propriété, je n'ai pas vraiment en tête la définition (je vais chercher).