exhiber un isomorphisme

qu'est ce que L(R_2,R) ?

Vu les dimensions ça doit être $L(\R_2[X],\R)$, le dual de $\R_2[X]$. Tu as déjà l'application, reste à montrer qu'elle est linéaire, injective, et surjective.

Salut

Ben (1,X,X²) est une base de R_2[X] donc un élément de L(R_2[X],R) est entièrement défini par son image par les vecteurs 1, X, et X². Soient a,b,c trois réels il suffit de dire que f(u+vX+wX²)=au+bv+cw est une application linéaire de R_2[X] dans R, dont l'image par ton isomorphisme est (a,b,c). Comme tes deux espaces sont de même dimension finie, la surjectivité implique l'injectivité.

Bon, on reprend calmement, et avec des notations. On note $E=\R_2[X]$, les éléments de $E$ sont des polynômes, on sait que $E$ est un espace vectoriel réel de dimension 3, et que $(1,X,X^2)$ en est une base.

On souffle.

On note $F=L(E,\R)$, c'est l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $\R$, donc les $f \, : \, E \to \R$ linéaires, qui à un polynôme $P \in E$ associent un réel $f(P)$, et ce linéairement.

On souffle.

Comme l'espace d'arrivée est le corps de base, on parle de formes linéaires sur $E$ et $F$ est appelé le "dual" de $E$, souvent noté $E^*$, c'est également un espace vectoriel réel, et puisque $E$ est de dimension finie $E^*$ l'est aussi, et sa dimension est la même que celle de $E$, c'est ce qu'on cherche à prouver dans cet exercice.

On souffle.

Pour cela on va construire une application de $F$ dans un espace bien connu, dont on sait que la dimension est 3, j'ai nommé $\R^3$, et on va montrer que c'est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Donc notre application, notons la $\Phi$, associera à une forme linéaire $f \in F$ un triplet de réels $\Phi(f)=(x,y,z) \in \R^3$ ; attention, $\Phi$ est une application qui agit sur des applications.

On souffle.

Etant donné $f \in F$, le plus simple moyen de lui associer un réel est "d'évaluer" $f$ en un polynôme $P$, c'est-à-dire de calculer $f(P)$ qui est bien un réel. Comme ici on veut trois réels, on a besoin de trois polynômes. Lesquels choisir ? Ca tombe bien, on a une base "canonique" de $E$ donc autant prendre ceux-là. Donc on va associer à toute forme linéaire $f$ le triplet $\Phi(f)=(f(1),f(X),f(X^2))$. Attention malgré les apparences il ne s'agit pas de calculer trois valeurs d'une fonction numérique $f$ pour les puissances d'un réel $X$ !

On souffle.

Comment montrer que $\Phi$ ainsi définie est un isomorphisme d'espaces vectoriels ? En revenant à la définition : on doit montrer que $\Phi$ est linéaire (pas trop dur), injective (on va regarder le noyau) et surjective. Si $f$ est dans le noyau, alors $\Phi(f)=0_{\R^3}$, soit $(f(1),f(X),f(X^2))=(0,0,0)$ soit encore $f(1)=f(X)=f(X^2)=0$. Et on doit montrer que $f=0_F$, la forme linéaire nulle, autrement dit que pour tout polynôme $P \in E$ on a $f(P)=0$. Comment faire à ton avis ? Pour la surjectivité je prends un triplet arbitraire $u=(x,y,z) \in \R^3$, et je cherche un antécédent de $u$ par $\Phi$ ; comment faire à ton avis ?

Oui c'est clair on se fout bien de ta goule Guimauve ! Non je rigole.

Désolé Denissovitch que tu aie perçu de la moquerie, ce n'était nullement mon intention, j'aurais dû faire plus attention, j'espère que je ne t'ai pas blessé. Simplement j'ai senti que tu étais un peu embrouillé et j'ai voulu détailler chaque étape autant que possible. Tu sais comment c'est, la communication par forum interposé ne permet pas toujours de faire passer le ton qu'on voudrait. Enfin si ça a pu t'aider c'est l'essentiel.