Soit un corps fini $K$, d'éléments $a_1,a_2,...,a_n$. Tu peux trouver un polynôme $P$, non constant, qui s'annule en tous les $a_k$. Et avec une toute petite modification tu en tires un polynôme $Q$, non constant, qui ne s'annule en aucun des $a_k$.
En utilisant la forme canonique d'une équation du second degré, ne pourrait-on pas dire que tout élément du corps est un carré, et ainsi à partir d'un élement non neutre, construire une suite infinie d'élements distincts ?
Merci pour vos messages, et excusez-moi, car je comprends pas.
Egoroff je ne comprends comment on peut choisit P non constant s'annulant en tous les $a_i$.
En effet, P s'annule alors sur tous les éléments de K, donc est constant nul sur K.
Sur quel corps définissez-vous P pour dire qu'il n'est pas constant?
Je ne comprends vraiment pas votre démarche, je suis désolée...
Aurez-vous la patience de m'expliquer encore?
En suivant ce que dit egoroff :
Soit $K$ un corps fini
On peut alors énumérer tous ces éléments : $\{a_1,a_2,...,a_n\}$
On considère le polynome $P(X)=(\prod_{i=1}^{n}(X-a_i))+1$
Alors $P(a_i)=1$ pour tout $i$ donc $P$ ne s'annule jamais sur $K$ ce qui prouve que celui-ci n'est pas algébriquement clos
Oui c'est ça l'idée. Dans un corps fini, justement, on peut avoir un polynôme non nul qui s'annule partout. Dit formellement, l'application linéaire qui à un polynôme associe la fonction polynomiale qu'il définit n'est injective que sur un corps infini (quel est son noyau dans la cas d'un corps fini ?). Donc attention à ne pas déduire à la hâte que P est nul si "P s'annule sur tous les éléments de K".
Réponses
Soit un corps fini $K$, d'éléments $a_1,a_2,...,a_n$. Tu peux trouver un polynôme $P$, non constant, qui s'annule en tous les $a_k$. Et avec une toute petite modification tu en tires un polynôme $Q$, non constant, qui ne s'annule en aucun des $a_k$.
Egoroff je ne comprends comment on peut choisit P non constant s'annulant en tous les $a_i$.
En effet, P s'annule alors sur tous les éléments de K, donc est constant nul sur K.
Sur quel corps définissez-vous P pour dire qu'il n'est pas constant?
Je ne comprends vraiment pas votre démarche, je suis désolée...
Aurez-vous la patience de m'expliquer encore?
lili
Soit $K$ un corps fini
On peut alors énumérer tous ces éléments : $\{a_1,a_2,...,a_n\}$
On considère le polynome $P(X)=(\prod_{i=1}^{n}(X-a_i))+1$
Alors $P(a_i)=1$ pour tout $i$ donc $P$ ne s'annule jamais sur $K$ ce qui prouve que celui-ci n'est pas algébriquement clos
Merci,
lili