dimension d'une fibre

sophie21 · December 2006

Bonjour,

p,q dans N et r entier compris entre 0 et min (p,q).
k désigne un corps alg clos.
J est la matrice canonique de rang r dans M(p,q)
On considère le morphisme u entre Gl(p,k)*Gl(q,k) et l' ensemble des matrices de rang égal à r défini par : u(P,Q)=P J Q.
On montre que toutes les fibres de u sont isomorphes. Question : Quelle est la dimension de la fibre de J ?

Merci d' avance.

Fadalbalamshmouk · December 2006

Comme toutes les fibres sont isomorphes, irr\'eductibles (et m\^eme lisses), on a la propri\'et\'e d'additivit\'e des dimensions:

$$ dim(fibre) + dim(X) = dim(Y) $$
pour le morphisme $f: Y \rightarrow X$ suppos\'e surjectif, ou au moins dominant.

La codimension de la sous-vari\'et\'e (localement ferm\'ee) des matrices $p \times q$ de rang $r$ est $(p-r) (q-r)$. Sa dimension est donc $pq - (p-r) (q-r)$. Maintenant la dimension de $GL(p) \times GL(q) $ est $p^2 + q^2$, donc la dimension de la fibre est
$$ p^2 + q^2 - pq + (p-r)(q-r) = p^2 + q^2 - r^2 + (p + q) r $$

Voila, en esp\'erant que c'est clair et juste.

sophie21 · December 2006

Merci pour ta réponse.

Le but de mon problème est de déterminer la dimension de la variété des matrices de rang inférieur à r (égale à la dimension de celle des matrices de rang r) que je ne connais donc pas a priori.

Je souhaiterais donc avoir la dimension de la fibre de J, puis utiliser le théo sur les dimensions pour conclure.

Encore merci

Sylvain · December 2006

N'y aurait-il pas un problème de signes dans ta dernière égalité Fadalbalamshouk ?

Fadalbalamshmouk · December 2006

Oui tu as raison attentif sylvain.

Je corrige en proposant une solution a la main: On cherche la dim du ferm\'e des couples $(P,Q) \in GL_p \times GL_q$ tels que $P J = JQ$. On a $P (Im J) = Im J$. Donc $P$ se d\'ecide en fixant un bloc $r \times r$ puis $p (p-r)$ coefficients. La relation $P J = JQ$ veut dire que l'on a fixe les $r$ premieres lignes de $Q$, reste donc a choisir les $q (q-r)$ qui restent. La dimension de la fibre est donc
$$ p^2 + q^2 + r^2 - (p+q) r$$

Mauricio4 · December 2006

Ca s'appelle la formule des corangs et on l'écrit :

(p - r).(q - r)

Je crois qu'elle est due à Jacobi.
Tu en trouves une autre démonstration dans Singularités d'applications diff Arnold GZade Varchenko vol 1 chapitre 3 (si je me souviens bien).
Cette démonstration consiste à montrer que localement les mineurs bordants forment un ensemble d'équations indépendantes, c'est plus obscur que le raisonnement de Falbala auquel je n'avais pas pensé.
Bien sûr la question, c'est de décrire les variétés algébriques en question.
M.

dimension d'une fibre

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 22