espace vectoriel

Bonjour

je suis en train de plancher sur un vieil exercice posé à un oral d'ENS, dont je n'ai pas la correction, et je me demande si il ne manque pas une précision...

Soit E un ensemble non vide muni d'une loi interne notée +, et d'une loi externe de domaine K notée $(\lambda,x)\rightarrow\lambda .x,\,K\times E\rightarrow E $.

On note F l'ensemble des applications $\phi$ de E dans K telles que $\forall (x,y)\in E^2, \,\forall \lambda\in K,\, \phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ et $\phi(\lambda.x)=\lambda.\phi(x)$

On suppose de plus que $(\forall (x,y)\in E^2), (x\neq y) {} \, \Longrightarrow \, {} (\exists \phi \in F/\,\phi(x)\neq\phi(y))$

Montrer que (E,+,.) est un K-ev.

A votre avis, doit-on supposer que K est un corps ou peut-on faire sans?