Exponentielle de matrices : surjectivité

le maudit
le maudit
dans Algèbre
Bonjour.
L'application $\exp:\mathcal{M}_n(\C)\to GL_n(\C)$ est surjective... mais qu'en est-il pour les matrices réelles ? Est-ce que $\exp:\mathcal{M}_n(\R)\to GL_n(\R)$ est surjective ?
Merci pour vos réponses.

Réponses

  • ibooo
    ibooo
    bonjour
    si mes souvenirs sont exactes det(exp(A))=exp(tr(A))
    je pense que ca peut t aider à repondre a ta question.
  • le maudit
    le maudit
    Ah oui ! Donc on a déjà l'inclusion $\exp(\mathcal{M}_n(\R))\subset GL_n^+(\R)$.
  • le maudit
    le maudit
    Je ne vois pas comment prouver l'égalité $\exp(\mathcal{M}_n(\R))=GL_n^+(\R)$ (si du moins elle est vraie)... une indication ?
  • Perplexa
    Perplexa
    c'est plus compliqué que ça
  • ryo
    ryo
    Je suis pas si sur de la surjectivité de $exp$ de $\mathcal{M}_n(\R)$ dans $GL_n^+(\R)$ : la preuve avec $\C$ utilise le fait que $\C$ est algébriquement clos afin de pouvoir trigonaliser une matrice complexe mais ici ca ne marche pas..
    Bien sur, ca ne veut pas dire qu'il n'y a pas de moyen(s) d'y arriver mais je suis de l'avis de Perplexa
    En tout cas c'est une très bonne question!
  • egoroff
    egoroff
    Oui c'est plus compliqué. On a $\mathrm{exp} \, M = \left( \mathrm{exp} \frac{M}{2} \right)^2$ donc toute exponentielle est un carré (comme dans $\R$). En fait c'est suffisant, mais non trivial ; par exemple en tapant "image exponentielle matrice" sur google on tombe sur \lien{http://desaintar.free.fr/exposes/image exponentielle.pdf} qui a l'air pas mal.
  • egoroff
    egoroff
    Oups je crois que le % dans le lien a fait bugger LaTeX, désolé. Voilà le lien en inerte : http://desaintar.free.fr/exposes/image exponentielle.pdf
  • Fadalbalamshmouk
    Fadalbalamshmouk
    Pour enfoncer le clou d'Egoroff
    <http://www-irma.u-strasbg.fr/~debarre/ExosAgreg.pdf&gt;
    Exercice (4.34)
    Dans le cas réel ce sont les carrés de matrices les exponentielles.
  • Perplexa
    Perplexa
    La réponse est connue, et se formule bien avec les tableaux de Young associés aux valeurs propres strictement négatives, mais je ne l'ai pas en tête, sans effort.
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