Racines de polynômes complexes

Bonsoir à tous,

j'ai un gros dm sur les polynômes à faire et voici l'une des questions que j'ai du mal à justifier.


Soit P(X) $\in \C$[X] . Soit $\alpha \in \C$ et $ \beta \in \C $ avec $\alpha \neq$ 0.

a) Trouver un polynôme Q(X) tel que x est une racine de P(X) si et seulement si x+$\beta$ est une racine de Q(X).

b) Trouver un polynôme Q(X) tel que x est une racine de P(X) si et seulement si $\alpha$x est une racine de Q(X).


Voilà donc ce que j'ai fait :

a) Soit Q(X) $\in \C$[X].
On cherche Q(X) tel que : x racine de P(X) $\Leftrightarrow$ x + $\beta$ racine de Q(X) .

Or : x racine de P(X) $\Leftrightarrow$ P(x) = 0 $\Leftrightarrow$ Q(x + $\beta$) = 0 $\Leftrightarrow$ Q(x) = -Q($\beta$)

Mais la dernière équivalence n'est vraie que si Q est une application linéaire et je ne sais pas comment justifier ça.
Dois-je dire que $\C$[X] est un espace vectoriel et qu'il est donc stable par combinaison linéaire?
(En même temps je suis pas sure que ça justifie la linéarité de Q).

Pour le b) j'obtiens Q(x)=0 mais j'ai le même problème pour justifier.


Merci