Suite de groupes

Enfin des suites de groupes ca existe mais on prend plutot des suites décroissantes de sous-groupes distingués imbriqués les uns dans les autres et avec le quotient de 2 termes consécutifs abéliens et ca s'appelle un groupe résoluble si on arrive à $\{1\}$.
On peut demander un peu plus et obtenir des groupes nilpotents.

Mais dans les deux cas, les suites sont finies.

Je ne me rappelle pas tellement avoir étudié des suites de Cauchy de rationnels. Evidemment il a fallu qu'un type doué construise R avant moi pour que je n'ai pas à m'embêter avec ça.
Mais bon, après tout pourquoi pas, on étudie bien des limites simples de fonctions continues et on peut quand même en dire quelque chose donc tout est possible

Autres exemples: on peut voir les $\mathfrak{S}_n$ comme "tendant" vers $\bigcup_{n\in\N}\mathfrak{S}_n$, qui est un sous-groupe (strict) de $\mathfrak{S}(\N)$. Ou encore les $\mathbb{U}_n$ comme tendant vers $\mathbb{U}$ (du coup, en passant à l'isomorphisme, les $\Z/n\Z$ tendraient plutôt vers le quotient $\R/\Z$). Mais là encore, il faudrait avoir une définition rigoureuse d'une limite de suite de groupes. La pente est savonneuse, cf les $\Z/n\Z$.

pour pouvoir parler de limite sur une suite de groupes, il faut deja avoir une loi compatible avec cette suite

dans ton cas (j'imagine que les $p_i$ sont des nombres premiers), ce n'est pas le cas (il n'y a pas de morphisme non nul entre $\Z/p_i\Z$ et $\Z/p_j\Z$)

un exemple classique est la suite des $(\Z/p^n\Z)$ pour la loi +
on peut definir la limite car pour chaque n on a un morphisme surjectif de $\Z/p^{n+1}\Z$ sur $\Z/p^n\Z$

dans le cas d'une suite $(G_n)_n$, avec pour tout n un morphisme de $G_{n+1}$ dans $G_n$, on peut definir cette limite (c'est la limite projective), et pour l'exemple precedent, ca donne le groupe p_adique
on peut aussi faire ca avec d'autres structures (anneaux, modules, corps...)
(au fait, est-ce qu'on peut definir la cloture algebrique de $\F_p$ comme la limite projective des $(\F_{p^n})_n$ ?)

si ca t'interesse, c'est explique plus en details dans le Lang ou le JP Serre

Il ne faut pas désespérer des imbéciles. Avec un peu d'entraînement, on peut arriver à en faire des militaires.

$\mathbb F_p$ comme la limite projective des $(\mathbb F_{p^n})_n$

d'apres le Lang on a besoin d'une famille d'indices filtrante a droite (ensemble ordonnée tel que $\forall i,j\in I,~ \exists k\in I$ tel que $i\leq k$ et $j\leq k$) pour definir un systeme inductif

c'est a dire une categorie avec pour objets les $(A_i)_{i\in I}$ et telle que si $i\leq j$ on ait un morphisme de $A_i$ dans $A_j$

donc si je prends un corps $K$ quelconque, que je prends $K[X]$ muni de la relation de divisibilite quotiente par la relation $(P|Q~et~Q|P)$, j'obtiens une famille d'indices filtrante a droite
si maintenant je prends les $K_i$ les corps de rupture des polynomes des classes d'equivalences $i\in I$, j'ai des morphismes injectifs de $K_i$ dans $K_j$ si $i\leq j$

maintenant, si j'etends la relation d'ordre de $I$ a ${K_i,~ i\in I}$ par $K_i\leq K_j$ ssi $i\leq j$, j'obtiens un ensemble inductif, et donc par Zorn, il admet un majorant $K^a$, qui est alors la cloture algebrique de $K$, et aussi la limite inductive des $(K_i)_{i\in I}$

ca generalise le cas des $\mathbb{F}_p$ corps

ca se tient comme raisonnement ?

sinon, autre question, est-ce qu'il existe une version du lemne de Zorn sans l'axiome du choix pour les ensembles denombrables ? (je sais qu'on n'a pas besoin de l'axiome du choix pour l'existence de la cloture algebrique des $\mathbb{F}_q$, est-ce qu'on en a besoin pour l'existence de celle de $\Q$ ?)

PS : elle a du succes ma citation...

Il ne faut pas désespérer des imbéciles. Avec un peu d'entraînement, on peut arriver à en faire des militaires.

ok, pour la version Bourbaki

si par contre si considere plutot comme $K_i$ la classe d'equivalence des corps de rupture de $i$, comme si $i\leq j$, il existe un corps de $K_i$ qui soit sous-corps d'un corps de $K_j$, et donc tout corps de $K_i$ s'injecte dans tout corps de $K_j$
la je sais pas trop si on peut considerer des injections entre les classes d'equivalences, ou alors choisir un representant par classe

Il ne faut pas désespérer des imbéciles. Avec un peu d'entraînement, on peut arriver à en faire des militaires.