base

skippy
skippy
dans Algèbre
Bonjour à tous.\\
Je me posais une question bête je pense, mais dans le cadre des extensions de corps, si on considère l'extension $Q(j,2^\frac{1}{3})$ , comment en calculer une base ?(le $2^\frac{1}{3}$ désignant la racine cubique de 2, je n'ai pas réussit à l'ecrire mieux) \\
Je sais que c'est une extension de $\Q$ de degré 6 , et donc un Q-espace vectoriel de dimension 6 mais je n'arrive pas à en déduire la base.\\
Certainement qu'il y aura du $2^\frac{1}{3}$, du $\j*2^\frac{1}{3}$ mais pour le reste...\\
Si quelqu'un peut m'aider. Merci d'avance.

Réponses

  • corentin
    corentin
    Le plus simple est d'adapter le théorème de la base télescopique pour trouver successivement des bases de petite taille:
    $\Q(j)$ est une extension de degré $2$, donc $1,j$ en est une base.
    $\Q(j,^3\sqrt(2))$ est une extension de degré $3$ de $\Q(j)$, on se convainc que $(1,^3\sqrt{2},^3\sqrt{2}^2)$ en est une base, et ainsi une base de $\Q(^3\sqrt{2},j)$ est...
  • skippy
    skippy
    Salut.
    Je suis d'accord sur tout, il y a juste pour le racine cubique de 2 au carré.
    Tu as juste essayé de construire une famille libre à 3 éléments sur $Q(j)$ ?
    En tout cas merci pour ta réponse.J'ai regardé sur internet, et je vois quel théorème est utilisé.
  • corentin
    corentin
    En fait il est à peu près clair que cette famille à trois éléments est génératrice, et comme $\Q(^3\sqrt{2},j)$ est un $\Q(j)$ espace vectoriel de dimension $3$, c'est donc une base.
  • skippy
    skippy
    Merci pour tes réponses Corentin.
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