somme d'hyperplans vectoriels

sonya · December 2006

Bonjour
Ca fait un moment que j'essaie de comprendre en vain :
Soient deux hyperplans vectoriels H1 et H2 d'un espace vectoriel E
si H1 et H2 sonts distincts alors on a H1 + H2 = E
Je ne comprends pas quelles sont les conditions pour que la somme de deux sous espaces vectoriels soit égale à l'espace vectoriel tout entier ( pas de somme directe juste une simple somme )
Merci.

Sisbai · December 2006

Salut

$H_1$ est un hyperplan il admet donc un supplémentaire de dim 1 : $D_a$.

$H_1$ et $H_2$ sont distincts donc il existe $b \in H_2$ qui n'appartient pas à $H_1$. Donc $b \in D_a$, et donc $D_a \subset H_2$

Soit maintenant $x \in E$.
Si $x\in H_1$ alors $x=x+0 \in H_1+H_2$.
Sinon $x \in D_a$ donc $x\in H_2$ et donc $x=0+x \in H_1+H_2$

a+

sonya · December 2006

ok merci bcp

Alain Debreil · December 2006

Bonjour

Sisbai > Il y a quelque chose qui ne va pas dans ce que tu dis !
Pour toi, si $x\not\in H_1$ alors $x \in D_a$
C'est faux en général.
Pense dans $\R^3$ avec $H_1$ le plan $xOy$, on peut choisir $D_a$ l'axe des $z$.
Si $P\not\in H_1$, c'est à dire $P$ n'est pas dans le plan $xOy$ alors $P$ n'est pas nécessairement sur l'axe des $z$.

Sonya > Je dirais qu'un hyperplan est un sev maximal dans $E$ en ce sens que si $K$ est un sev de $E$ tel que $H_1\subseteq K\subseteq E$ alors soit $K=H_1$ soit $K=E$.
Ici $H_1\subseteq H_1+H_2 \subseteq E$ et comme $H_2$ est distinct de $H_1$ on a $H_1 \subsetneq H_1+H_2$. D'où la propriété.

Alain

Sisbai · December 2006

Evidemment c'est n'importe quoi !

Y a des jours comme ça on peut écrire des horreurs !
Merci Alain pour cette relecture utile !
Désolé Sonya.
Je rectifie :

Salut

$H_1$ est un hyperplan il admet donc un supplémentaire de dim 1 : $D_a$.

$H_1$ et $H_2$ sont distincts donc il existe $b \in H_2$ qui n'appartient pas à $H_1$.
On peut écrire $b=h+\lambda a$ où $h\in H_1$ et $\lambda\ne 0$, et donc $a=\lambda^{-1} (b-h)$.

Soit maintenant $x \in E$.
On peut écrire $x=g+\mu a$ où $g\in H_1$.
On a :
$x= g+ \mu.\lambda^{-1} (b-h)$
$x=(g- \mu.\lambda^{-1}h)+ \mu.\lambda^{-1}b$
donc $x\in H_1+H_2$

Bon j'espère que cette fois ce n'est pas des betises car l'apéro va bientôt commencer et après ça va être pire !

Bon reveillon

a+

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