si on dispose d'une famille de $n$ éléments deux à deux orthogonaux dans un espace Euclidien de dimension $n$ peut t'on dire que cette fammille est une base orthonormée?
ouai ben il est là le pb
En fait je posais la question car je travaillais avec les polynômes de Tchébychef et je voulais montrer que la famille des polynome $T_{n}$ (poly de tch) est une famille libre en utilisant juste le fait que ses vecteurs soient orthogonaux deux à deux, mais je ne savais pas comment procéder sans résoudre de gros calculs donc il y a t'il une méthode ou un th ?
Une famille d'éléments non nuls orthogonaux est toujours libre, en effet, si $\sum \lambda_i e_i=0$, en prenant le produit scalaire avec $e_k$ on a $\lambda_k=0$ et donc tous les $\lambda_k=0$.
Si on a des éléments orthogonaux qui ne sont pas forcément de norme $1$, on parle de famille orthogonale au lieu d'orthonormée.
Réponses
on peut juste dire que c'est une base orthogonale.
En fait je posais la question car je travaillais avec les polynômes de Tchébychef et je voulais montrer que la famille des polynome $T_{n}$ (poly de tch) est une famille libre en utilisant juste le fait que ses vecteurs soient orthogonaux deux à deux, mais je ne savais pas comment procéder sans résoudre de gros calculs donc il y a t'il une méthode ou un th ?
merci
geoffrey
Si on a des éléments orthogonaux qui ne sont pas forcément de norme $1$, on parle de famille orthogonale au lieu d'orthonormée.
[Corentin commence par : << Une famille d'éléments non nuls ... >> AD]