permutation
J'ai un exercice a preparer et je rame un peu.
J'ai deja fais 2 3 chose mais la je bloque vraiment.
Alors voila:
*Je dois montrer que $A_4$ est le seul ss gpe d'ordre 12 de $S_4$
*determiner le centre de $S_n$
*determiner les ss gpes de $S_4$ d'ordre 4, 6 et 8
*montrer qu'il n'y a pas de ss gpes isomorphe au gpes des quaternions
je crois que mon premier pb est de ne pas arriver a faire le produit de 2 permutations
et qu'est ce que l'opposé d'une permutation ?
Merci d'avance...
J'ai deja fais 2 3 chose mais la je bloque vraiment.
Alors voila:
*Je dois montrer que $A_4$ est le seul ss gpe d'ordre 12 de $S_4$
*determiner le centre de $S_n$
*determiner les ss gpes de $S_4$ d'ordre 4, 6 et 8
*montrer qu'il n'y a pas de ss gpes isomorphe au gpes des quaternions
je crois que mon premier pb est de ne pas arriver a faire le produit de 2 permutations
et qu'est ce que l'opposé d'une permutation ?
Merci d'avance...
Réponses
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Salut
* Utilise le fait (après l'avoir démontré) que la signature est l'unique morphisme non trivial de Sn dans {-1,1}. Remarque (et démontre) qu'un sous-groupe d'indice 2 est toujours distingué.
* Soit une permutation du centre, décompose la en produit de cycles disjoints et conjugue la avec une transposition bien choisie.
L'inverse d'une permutation s c'est la permutation s' telle que ss'=Id. -
Pour le centre de Sn, on a Z={id}. Reste à le démontrer (par l'absurde par exemple).
-
Bonsoir CLO
<BR>
<BR>Si tu as des problèmes avec la composition des permutations, tu peux jeter un oeil sur la réponse que j'ai faite il y a quelques jours à blue_matematics :
<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=345352&t=345300#reply_345352"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=345352&t=345300#reply_345352</a>
<BR>il y a 2 liens qui expliquent cette composition.
<BR>
<BR>Alain<BR> -
Soit $H$ est un sous groupe de $S_4$ et d'ordre 12. Alors ou bien $H$ est inclus dans $A_4$,
ou bien $K:=H\cap A_4$ est un sous-groupe d'ordre 6 de $A_4$ (pour le voir, considérer la restriction de la
signature à $H$) et donc d'indice 2 dans $A_4$ ce qui est absurde car alors tout carré de $A_4$ serait dans
$H$, or un trois-cycle $f$ est un carré car il vérifie $f=(f^2)^2$ et il y a 8 trois-cycle dans $A_4$ ce qui fait trop.
Guimauve : je ne vois pas comment tu utilises ton argument selon lequel la signature est l'unique morphisme.\\\\
Concernant le centre $Z$ de $S_n$ : si $f\in Z$ alors $f$ laisse stable toute partie à deux éléments car par hypothèse sur f dans le centre, on a $f\circ (a\;\;b) \circ f^{-1} = (a\;\;b)$ mais une vérification immédiate montre que $f\circ (a\;\;b) \circ f^{-1} = (f(a)\;\;f(b))$. Maintenant, supposons qu'il existe trois élement distincts $a, b$ et $ c$.
Alors $f(\{a,c\}\cap \{b,c\})=f(\{a,c\})\cap f(\{b,c\})$ car $f$ est bijective, d'où $f(c)=c$ en sorte que $f$ estl'identité si on permute sur trois éléments ou plus.\\
trivecteur -
Trivecteur : H est, comme sous-groupe distingué, le noyau d'un homomorphisme de groupes, et l'image de cet homomorphisme étant isomorphe à {-1,1}, on conclut.
-
Guimauve ->
Oui d'accord, je comprends ce tu proposes, c'est en effet assez efficace.
Ca me fait penser qu'on peut prouver encore autrement le résultat : puisque $G/H$ est d'ordre 2, pour tout $g\in G=S_4$ on a $g^2\in H$ en particulier $H$ contient les 8 trois-cycles (puisque si $g\in G$ est un trois-cycle alors $(g^{-1})^2=g$ et donc $g\in H$) en sorte que $H=A_4$.
Trivecteur
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