anneau
Bonjour à tous , voilà j'essaye de refaire un sujet d'algèbre de l'an dernier
J'arrive pas à débuter la première question qui est la suivante
Montrer que les nombres $x + y\sqrt{-3}$ (x, y dans Z) ou x =$\frac{2k+1}{2}$ , y=$\frac{2l+1}{2}$ avec k et l dans Z , constituent un anneau qu'on désigne par A
J'ai posé b = $x + y\sqrt{-3}$ . J'ai trouvé que b vérifie l'équation
$b^2-2xb+x^2+3y^2=0$
Comment faire pour la suite .... je vois pas vraiment ou on veut en arriver ...
Je remercie d'avance les personnes qui vont prendre le temps de me lire et qui me répondront ...
Merci d'avance et bonne année à tous ...
La mienne commence avec un gros probleme d'algèbre lol
J'arrive pas à débuter la première question qui est la suivante
Montrer que les nombres $x + y\sqrt{-3}$ (x, y dans Z) ou x =$\frac{2k+1}{2}$ , y=$\frac{2l+1}{2}$ avec k et l dans Z , constituent un anneau qu'on désigne par A
J'ai posé b = $x + y\sqrt{-3}$ . J'ai trouvé que b vérifie l'équation
$b^2-2xb+x^2+3y^2=0$
Comment faire pour la suite .... je vois pas vraiment ou on veut en arriver ...
Je remercie d'avance les personnes qui vont prendre le temps de me lire et qui me répondront ...
Merci d'avance et bonne année à tous ...
La mienne commence avec un gros probleme d'algèbre lol
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Réponses
Sylvain
Merci encore
[Corrigé dans le message initial. AD]
C'est quoi cette histoire d'équation ? Il suffit de vérifier que l'addition et le produit sont des lois internes qui vérifient les axiomes de la structure d'anneau (i.e (A,+) est un groupe commutatif, le produit est associatif et distributif sur l'addition).
1) pour montrer que c'est un anneau, on peut poser $a=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$
on verifie que $\sqrt{-3}=2a-1$, est donc tous les elements de A sont engendres par 1 et a, et inversement, on a $\mathbb{Z}[a]\subset A$, donc $\mathbb{Z}[a]=A$
a partir de la, ce n'est plus trop dur de montrer que c'est un anneau
2) a mon avis c'est la question la plus technique : moralement, si on prend deux nombre a et b, et qu'on regarde le reseau engendre par b et $A^*$, alors ce reseau est triangulaire, et donc a est dans un triangle delimite par 3 multiples b1, b2 et b3 de b
alors, on a N(a-b1), N(a-b2) et N(a-b3)
Sylvain
J'ai plein d'exercices, d'exemples types et d'astuces relatifs a ces anneaux dans mon cours d'algebre en ligne, eh,eh,eh.