Endomorphismes autoadjoints
Bonjour
dans mon cours sur les espaces euclidiens et hermitiens, je suis tombé sur un lemme précédant le théorème fondamental de la réduction des endomorphismes autoadjoints (en dim. finie) qui est le suivant :
E est un espace euclidien
lemme : Si u est autoadjoint, alors le polynôme caractéristique de u est scindé sur R.
Pour le montrer, on prend $\lambda$ une vap (complexe) et $X\in \mathcall{M_{n,1}}(\mathbb{C})$ un vep associé.
On a $MX=\lambda X$ donc $M\bar{X}=\bar{\lambda}\bar{X}$.
Et là, on calcule de deux manières $\bar{X}^t MX$ pour au final montrer sans difficulté que $\lambda=\bar{\lambda}$, ce que l'on voulait.
Ma question est : pourquoi doit-on se dire "tiens, et si je calculais $\bar{X}^t MX$..."? Est-ce que cette quantité représente quelque chose de particulier ou alors rien du tout?
dans mon cours sur les espaces euclidiens et hermitiens, je suis tombé sur un lemme précédant le théorème fondamental de la réduction des endomorphismes autoadjoints (en dim. finie) qui est le suivant :
E est un espace euclidien
lemme : Si u est autoadjoint, alors le polynôme caractéristique de u est scindé sur R.
Pour le montrer, on prend $\lambda$ une vap (complexe) et $X\in \mathcall{M_{n,1}}(\mathbb{C})$ un vep associé.
On a $MX=\lambda X$ donc $M\bar{X}=\bar{\lambda}\bar{X}$.
Et là, on calcule de deux manières $\bar{X}^t MX$ pour au final montrer sans difficulté que $\lambda=\bar{\lambda}$, ce que l'on voulait.
Ma question est : pourquoi doit-on se dire "tiens, et si je calculais $\bar{X}^t MX$..."? Est-ce que cette quantité représente quelque chose de particulier ou alors rien du tout?
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