Bonjour
Comment fait-on pour trouver la base d'une intersection de deux sous-espaces vectoriels, par exemple on a V=Vect((1,2,0,4),(-1,3,0,2))
et U=Vect((-2,5,1,0),(-2,2,0,1)) on me demande la base de l'intersection,
Comment faire ?
Je voudrais connaître la méthode.
Réponses
Sauf erreur, il me semble que U et V soit en somme directe, donc l'intersection est réduite au vecteur nulle.
En effet, le déterminant de la matrice dont les 4 colonnes sont les vecteurs que tu donnes est d'après mes calculs -1
Pour une méthode générale :
Essaie d'abord de détérminer la dimension de l'intersection. Il s'agit de la différence de la dimension de l'espace ambiant (ici 4) moins le rang de la matrice des vecteurs que tu te donnes au départ (dans une base qqn, ici c'était la base canonique).
Ensuite, tu caractérises les vecteurs de l'intersection en disant qu'une CL des premiers vecteurs doit être égale à une autre CL des autres vecteurs. Tu résous le système linéaire, sans te soucier du fait qu'il y ait plus d'inconnues que d'équations.
Lebesgue
La base de ton intersection est constituée de vecteurs appartenant aux deux espaces vectoriels. Tu peux donc résoudre le système d'équations exprimant l'appartenance aux deux ev.
Sinon la dimension de l'intersection est inférieure aux dimensions de tes espaces. Ici l'intersection sera donc de dimension 0,1 ou 2.
Si elle vaut 2, alors U=V (ce qui n'a pas l'air d'être le cas)
Si elle vaut 0, alors tu as ta base :d
Sinon, il suffit d'exhiber un vecteur non nul de ton intersection pour avoir ta base.