vecteurs propres

bonsoir la compagnie,voila je bloque sur qu'est que chose qui est de base,une démonstration que je comprend pas ,pour montrer que les éléments de F ont un vecteur propre commun,avec F appartient a L(V),ils disent que la méthode est la démonstration par récurence sur n=dim(V),en utilisant des stablités, alors pourquoi pour n=1 c'est évident?? il disent car tout vecteur non nul de V est propre pour tous les éléments de F, supposons que c'est vrai jusqu'au rang n-1 et examinons pour n ,,,,,il faut examiner la dimension de Eh(u) avec h valeur propre de u et Eh(u) est stable par F,car F est commutatif,comme v commute a u ,il laisse stable Eh(u) d'aprés la question précedente(ca c'est facile)
on peut alors considérer la restriction de F a Eh(u) ,tous les éléments de cet ensemble commutent et par hypothése de récurence admettent un vecteur propre commun ,j'ai rien compris !!
aprés ils disent que c'est facile de vérifier que ce vecteur est également propre pour tous les éléments de F encore moins ici
2 eme cas si on ne peut pas trouver d'endomorphisme v dans F qui admette un sev de dimension strictement inférieur a n,c'est donc que tous ces endomorphismes ont un espace propre de dimension n, donc que ce sont des homotéties
dans ce cas ,si on choisit un vecteur quelconque non nul de v ,il est propre pour tous les éléments de F.rien compris du tout
Dou le résultat . svp aillez la gentillesse de m'aider