système diophantien
Dans un recueil d'exercices, je planche sur un problème qui paraît relativement simple. Le voici:
"(X-6A) (Y-6A) (Z-3A) = 663 et 6X + 6Y + 3Z = 663, que vaut A sachant que A, X, Y et Z sont des entiers positifs non nuls? "
Voilà comment je procède : je décompose 663 en facteurs premiers: 663=3x13x17. J'identifie ensuite chacun des facteurs de la première équation à chacun de ces derniers nombres, en vue d'obtenir les valeurs de X, Y et Z en fonction de A, valeurs que je tranpose dans la seconde équation en vue de dégager la valeur de A. Je n'obtiens aucune valeur entière pour A. J'ai effectué aussi mes calculs en prenant 2 des 3 facteurs ci-dessus en négatif. Aucun résultat satisfaisant.
Le corrigé de l'exercice donne à choisir entre 1, 2, 3 ou 4.
J'ai interrogé l'auteur: aucune erreur, ni dans l'énoncé, ni dans les propositions de réponses.
Pourriez-vous me dire où je me suis gouré ?
Merci d'avance pour vos réponses.
"(X-6A) (Y-6A) (Z-3A) = 663 et 6X + 6Y + 3Z = 663, que vaut A sachant que A, X, Y et Z sont des entiers positifs non nuls? "
Voilà comment je procède : je décompose 663 en facteurs premiers: 663=3x13x17. J'identifie ensuite chacun des facteurs de la première équation à chacun de ces derniers nombres, en vue d'obtenir les valeurs de X, Y et Z en fonction de A, valeurs que je tranpose dans la seconde équation en vue de dégager la valeur de A. Je n'obtiens aucune valeur entière pour A. J'ai effectué aussi mes calculs en prenant 2 des 3 facteurs ci-dessus en négatif. Aucun résultat satisfaisant.
Le corrigé de l'exercice donne à choisir entre 1, 2, 3 ou 4.
J'ai interrogé l'auteur: aucune erreur, ni dans l'énoncé, ni dans les propositions de réponses.
Pourriez-vous me dire où je me suis gouré ?
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Réponses
1er cas : $X-6A = 3$, $Y-6A = 13$ et $Z-3A=17$
2er cas : $X-6A = 17$, $Y-6A = 3$ et $Z-3A = 13$
3er cas : $X - 6A = 13$, $Y-6A = 17$, $Z-3A = 3$
Et c'est tout pour les permutations de 3, 13 et 17 ($X$ et $Y$ jouant des rôles complètement symétriques). Mais il y a encore d'autres cas à envisager :
3ème cas : $X-6A = 1$, $Y-6A = 3\times 13$, $Z-3A = 17$
4ème cas : $X-6A = 1$, $Y-6A = 3\times 17$, $Z-3A = 13$
etc.
Mais aussi des cas du type $X-6A = 1$, $Y-6A = 1$ et $Z-3A = 663$...
Chaque cas doit donner une équation en $A$ à étudier pour savoir si elle a une solution entière...
tu pars de 663 = 3*13*17 puis tu identifies, mais éventuellement 1 pourrait aussi être un facteur entier,
par exemple 663 = 1* 17*39...
tu pars de 663 = 3*13*17 puis tu identifies, mais éventuellement 1 pourrait aussi être un facteur entier,
par exemple 663 = 1* 17*39...
Je n'ai en fait pas étudié tous les cas. Je m'en suis tenu aux facteurs premiers. Erreur impardonable.
Je continue.
Merci encore.