Polynôme minimal d'une matrice

Il ne me semble pas, prends par exemple le cas d'une rotation d'un quart de tour direct dans le plan vectoriel. Son polynome mimimal sur R est X²+1 tandis que sur C, c'est X - i.

Bonjour,

En voici une autre démonstration :

Le polynôme minimal $P\in K[X]$ de $M\in M_n(K)$ est le polynôme unitaire de plus
petit degré (dans $K[X]$) tel que $P(M)=0$. De même le polynôme minimal
$Q\in L[X]$ de $M$ considérée comme élément de $M_n(L)$ est le polynôme
unitaire de plus petit degré de $L(X]$ tel que $Q(M)=0$.
Comme $P(M)=0$, $P$ est un multiple de $Q$ dans $L[X]$ et on a donc $\mbox{degré}(P)\ge\mbox{degré}(Q)$.
On montre maintenant que $P$ et $Q$ ont même degré, ce qui donnera $P=Q$.

Les matrices $M_{i,j}$ classiques (1 à la i--ème ligne, j--ème colonne
et 0 ailleurs) forment une base de $M_n(K)$ et de $M_n(L)$. Si $d$ est
le degré de $P$, les matrices $I,M,\ldots,M^{d-1}$ sont $K$--indépendantes.
En désignant par $S$ la matrice des composantes de $I,M,\ldots,M^{d-1}$
dans la base $(M_{i,j})$ de $M_n(K)$, on a $S$ de rang $d$. $S$ étant
aussi la matrice des composantes de $I,M,\ldots,M^{d-1}$ considérées
comme éléments de $M_n(L)$, ces matrices sont $L$--indépendantes et
$\mbox{degré}(Q)\ge d$. Ainsi $P$ et $Q$ ont le même degré et sont égaux.

Amicalement
Omar

Rien de fumeux dans les histoires de rang, si on se souvient que :

Une matrice est de rang d (d < n) ssi tous les déterminants extraits de taille d + 1 sont nuls et il existe un déterminant extrait de taille d non-nul.

Une matrice est de rang n ssi son déterminant est non-nul.

Et merci à Omar pour cette démo qui ne fait pas appel aux modules.

Je préfère personnellement le point de vue des systèmes linéaires avec une belle application de l'utilisation des opérations élémentaires sur les matrices qui ramène la matrice initiale du système linéaire à une forme réduite donnant une paramétrisation directe des solutions ainsi que les équations de compatibilité.

\textit{Lemme.} Si $Q$ est le polynôme minimal de $M$ considérée comme étant à coefficients dans $M_n(L)$, on va montrer en fait que $Q$ est à coefficients dans $M_n(K)$.

Cela achèverait la démonstration :

$Q$ est le poly minimal de $M$ sur $M_n(L)$ et $P$ annule $M$ et est à coefficients $M_n(L)$, donc $Q|P$ dans $M_n(L)$.

$P$ est le poly minimal de $M$ sur $M_n(K)$ et $Q$ annule $M$ et est à coefficients $M_n(K)$, donc $P|Q$ dans $M_n(K)$, donc donc $P|Q$ dans $M_n(L)$.

Finalement $P$ et $Q$ sont assiciés dans $M_n(L)$ et unitaires, donc égaux.


\textit{Preuve du lemme.} En notant $d$ le degré de $Q$, on a des scalaires $x_0$, ..., $x_{d-1}$ dans L tels que :

$M^d=x_{d-1} M^{d-1}+...+x_1 M+x_0 I$.

Mais l'équation précédente revient à dire que le vecteur $(x_0, ..., x_{d-1})$ est une solution d'un système d'inconnue le vecteur colonne $X$ :

$A \times X = transposée(y_0, y_1, ... y_{d-1})$

La matrice $A$ possédant $n^2$ lignes et $d$ colonnes à coefficients dans $K$, les scalaires $y_0$, ..., $y_{d-1}$ étant dans $K$ puisque les puissances de $M$ ont des scalaires à coefficients dans $K$.

Or par des opérations élémentaires sur les lignes uniquement, on obtient un système équivalent, de la forme :

$B \times X = transposée(z_0, z_1, ... z_{d-1})$.

La matrice $B$ étant sous forme réduite (savoir donner sa description précise est essentielle, je ne le fais pas ici, mon exposé est déjà trop long!), ses $r$ dernières lignes étant toutes nulles.

Comme ce système admet un vecteur solution à coeffs dans dans $L$, cela prouve que les équations de compatibilités sont satisfaites : les $r$ derniers $z_i$ sont donc tous nuls. Cela prouve que le système linéaire n'est pas impossible.

La forme réduite de $B$ donne directement une paramétrisation des solutions. $B$ étant à coefficients dans $K$, on en déduit l'existence d'un vecteur solution à coefficients dans $K$.

Il y a donc un autre polynôme $R$, unitaire de degré $d$, tel que $R(M)=0$. $R$ étant à coeffs dans $L$ également, $Q$ divise $R$ et par égalité de degrés $Q=R$, donc $Q$ est dans $K[X]$.


*** Cette méthode est beaucoup plus naïve mais permet de comprendre que la notion de polynôme minimal est simplement liée à la résolution d'un système linéaire comportant beaucoup d'équations.

*** Ce lemme assez naïf permet de voir que plus généralement, si $P$ est un poly annulateur de $M$ de degré $d$, il existe un autre poly annulateur de $M$ de degré $d$ à coefficients dans le sous corps engendré par les coefficients de $M$.

*** Concernant Omar, il n'y avait rien de méchant dans mes propos, je regrette que mes propos sur le côté "fumeux" n'aient pas été compris.
Ta démonstration est excellente pour une question orale à l'agreg, c'est concis et ça cadre parfaitement avec ce que voudrait entendre un jury à mon avis. Ma démo proposée est beaucoup trop longue, elle est à proscrire pout une agreg mais elle offre l'intérêt d'un autre point de vue.