polynômes

paulineb62 · January 2007

Salut,

On a f(P)=(P(1),P(2),P(3),P(4)) P $\in$ $\R$ [X]
f: $\R$ [X] $\longrightarrow$ $\R$^4 et f est linéaire

Je voudrais savoir pourquoi
P $\in$ ker f $\Leftrightarrow$ (P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=0)
$\Leftrightarrow $(X-1)(X-2)(X-3)(X-4) divise P

Merci d'avance...

Denissovitch0 · January 2007

(ii) => (iii) si P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0 alors 1,2,3,4 sont racines de P donc P peut se factoriser en (X-1)(X-2)(X-3)(X-4)Q

(i) => (ii) si P appartient au noyau de f, cela veut dire que f(P) = 0, donc que
(P(1), P(2), P(3), P(4))= (0, 0, 0, 0)

tu comprends mieux les liens?

Nico · January 2007

P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=0, ca veut dire que 1, 2, 3 et 4 sont racines de P, donc (X-1), (X-2), (X-3) et (X-4) divisent P et comme ces 4 polynomes sont premiers entre eux, (X-1)(X-2)(X-3)(X-4) divise P

sinon, pourquoi (X-a) divise P si P(a)=0 :
P(X)=(X-a).Q(X)+R(X), avec d°R < d°(X-a), donc comme P(a)=0, on a R(a)=0,et comme d°R < 1, R=0, donc (X-a) divise P

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