anneau sur Z...

$2\Z + 3\Z$ contient bien $2\Z$, mais l'idéal engendré par $2$ n'est pas $2\Z$ dans ton anneau...

Bonjour à tous!

Alors, j'ai un pitit problème avec l'anneau $\displaystyle{\mathbb{Z}\left[1+\frac{\sqrt{-19}}{2}\right]}$...
Dans un exercice, on me demande dans un premier temps de montrer que ce n'est pas un anneau euclidien, puis que c'est un anneau quasi euclidien et que c'est un anneau isomorphe à $\mathbb{Z}[t]/(t^2-t+5)$... jusque là, tout va bien! Mais alors là, on me demande de monter que l'idéal engendré par $2$ est maximal, et je comprends pas pourquoi $2 \mathbb{Z}+3\mathbb{Z}$ ne contient pas $2 \mathbb{Z}$...
et ensuite, on nous demande de montrer que $\displaystyle{\mathbb{Z}\left[1+\frac{\sqrt{-19}}{2}\right]}$ est principal et j'y arrive pas du tout....

Voili voilou... merci beaucoup à tous pour votre aide!