Division euclidienne et anneau de polynôme

$\K[X_1,..,X_n]$ n'est pas euclidien, il n'est pas principal en fait.

Pour montrer ca, tu sais que $\K[X]$ est principal si et seulement si $\K$ est un corps ( pour le sens direct tu regardes $\K$ comme étant isomorphe à $\K[X]/(X)$ et pour la réciproque c'est exactement ce que tu dis au début de ton message : on montre que dans ce cas $\K[X]$ est euclidien)

Bon et une fois qu'on a ca on sait aussi que par définition $\K[X_1,X_2]=\K[X_1][X_2]$
Or, $\K[X_1]$ n'étant pas un corps ($X$ par exemple n'est pas inversible), $\K[X_1,X_2]$ n'est pas principal par mon truc du début, il ne peut donc pas etre euclidien.