Une question d'oral d'agrégation
Voici la question effectivement posée : Soit une matrice de $M_n(C)$ choisie "au hasard" peut on dire qu'elle est inversible (i.e avec la probabilité 1)?
Voici des éléments de réponse que je donnerai : l'ensemble des matrices non inversibles est l'ensembles des zéros de la fonction polynome det (i.e le déterminant de variables complexes $x_{i,j}$ : les coeffs de la matrice tirée "au hasard")
Question au jury : "Qu'entendez vous par tirer au hasard, en particulier la loi de proba est elle absolument continue?"
explication : Pour une loi discrète, il peut arriver que le support de la loi soit sur l'ensemble des zéros de la fonction déterminant auquel cas la matrice tirée au hasard est singulière avec la proba 1
Supposons que la réponse faite soit : "la loi est effectivement absolument continue"
il s'agit de montrer que les zéros de la fonction polynome déterminant forment une partie de $C^{n^2}$ de mesure de Lebesgue nulle.
Element de réponse : si $n^2=1$ i.e $n=1$ la réponse est oui (théorème des zéros d'une fonction analytique à une variable, ils sont isolés et dénombrables ce qui donne un ensemble de mesure nulle )
cas général : mes connaissances font défaut en ce qui concerne les zéros d'une fonction analytique à $n^2$ variables, mais intuitivement c'est + ou - une variété
analytique plongée dans $C^{n^2}$ et elle doit être de mesure nulle. Je remarque qu'un tel résultat ne figure pas au programme de l'agrégation. Ma question est donc : quel embryon de démonstration puis je fournir pour répondre à la question?
Le résultat que je pressens a des chances d'être vrai, mais le montrer avec les connaissances du programme de l'agrégation me semble au dessus de mes forces. Quelqu'un a t il une idée pour répondre à la question?
Voici des éléments de réponse que je donnerai : l'ensemble des matrices non inversibles est l'ensembles des zéros de la fonction polynome det (i.e le déterminant de variables complexes $x_{i,j}$ : les coeffs de la matrice tirée "au hasard")
Question au jury : "Qu'entendez vous par tirer au hasard, en particulier la loi de proba est elle absolument continue?"
explication : Pour une loi discrète, il peut arriver que le support de la loi soit sur l'ensemble des zéros de la fonction déterminant auquel cas la matrice tirée au hasard est singulière avec la proba 1
Supposons que la réponse faite soit : "la loi est effectivement absolument continue"
il s'agit de montrer que les zéros de la fonction polynome déterminant forment une partie de $C^{n^2}$ de mesure de Lebesgue nulle.
Element de réponse : si $n^2=1$ i.e $n=1$ la réponse est oui (théorème des zéros d'une fonction analytique à une variable, ils sont isolés et dénombrables ce qui donne un ensemble de mesure nulle )
cas général : mes connaissances font défaut en ce qui concerne les zéros d'une fonction analytique à $n^2$ variables, mais intuitivement c'est + ou - une variété
analytique plongée dans $C^{n^2}$ et elle doit être de mesure nulle. Je remarque qu'un tel résultat ne figure pas au programme de l'agrégation. Ma question est donc : quel embryon de démonstration puis je fournir pour répondre à la question?
Le résultat que je pressens a des chances d'être vrai, mais le montrer avec les connaissances du programme de l'agrégation me semble au dessus de mes forces. Quelqu'un a t il une idée pour répondre à la question?
Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
Henri Poincaré
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
La question relève de la logique:
Tirer au hasard est une expréssion qui a un sens intutif pour des actions concrétes:jeu de pile ou face par exemple
Traduire cette notion dans le language formel des mathématiques n'est pas évident:toute traduction entraine un arbitraire.
Pour un ensemble fini on peut traduire la notion en prenant pour probabilté celle qui donne la meme valeur à chaque élément; cette methode ne peut s'appliquer à un ensemble infini.
Pour un nensemble infini je ne vois pas de mesure qui traduise la notion de tirer au hasard.
pour moi cette notion n'est pas formalisable en ce cas.
cordialement
Pour cela, on considère $\phi$ la fonction indicatrice des matrices singulières. Il faut montrer que $\int_{M_n(\C)} \phi = 0$. Mais, si on note $D$ la droite vectorielle engendrée par la matrice identité et $H$ un hyperplan supplémentaire de cette droite (par exemple les matrices de trace nulle), on a, par le théorème de Fubini :
$$\int_{M_n(\C)} \phi = \int_{A\in H} \int_{B \in D} \phi(A+B) = \int_{A\in H} \int_{\lambda \in \R} \phi(A+\lambda I)$$
Or, l'intégrale intérieure est toujours nulle, quelle que soit $A$ (le polynôme caractéristique de $A$ n'a qu'un nombre fini de racines). On conclut.
si on prend une famille $(v_i)$ liee de n vecteurs de $\R^n$ de rang r, alors on peut choisir une famille libre de r vecteurs, qu'on peut completer avec (n-r) vecteurs $(v_i')$
donc si on prend une matrice M non inversible de rang r, on peut supposer que ses r premieres colonnes forme une famille libre, et si on lui ajoute la matrice $\lambda.M'$, ou les r premieres colonnes de M' sont nulles, et les (n-r) correspondent aux $(v_i')$, on obtient que la matrice $M+\lambda.M'$ est inversible
or comme on peut prendre $\lambda.\|M'\|$ aussi petit qu'on veut, on a donc que l'ensemble des matrices non inversible est d'interier vide, et donc de mesure nulle
C'est l'autre implication qui est vraie, pas celle-là... (il existe des fermés d'intérieur vide et de mesure nulle, comme un Cantor bien choisi par exemple)
par contre ca m'amene a me poser une autre question :
un ensemble d'interieur vide et de mesure non nulle peut-il etre connexe par arcs ?
(on peut voir que l'ensemble des matrices non inversibles est connexe par arcs, mais pas les ensembles de Cantor)
[edit de moi : question stupide...]
"un ensemble d'interieur vide et de mesure non nulle peut-il etre connexe par arcs ? "
Oui, c'est possible. Par exemple, dans R², considérer l'ensemble des couples (x,y) avec x ou y non rationnel (c'est a dire R²\Q²)
RRt
Soit $A=\{x\in \R^n\mid P(x)=0\}$ et $\phi$ sa fonction indicatrice.
On a $$ \int_{\R^n}\phi(x) \mathrm dx = \int_{\R^{n-1}}\left(\int_{\R}\phi(x_1,x') \mathrm dx_1\right)\mathrm dx'
$$ et l'intégrale du milieu est nulle car la fonction polynomiale $t\mapto \phi(t,x')$ s'annule tout le temps sauf en un nombre fini de valeurs, les racines du polynôme $t\mapsto P(t,x')$. On conclut que $A$ est de mesure nulle, et par suite tout ensemble algébrique qui n'est pas $\R^n$ l'est aussi.
Si quelqu'un peut confirmer...
merci
PS: pour les modérateurs, je n'arrive pas à afficher mon post en latex
[Adsj : Il faut cocher la case LaTeX pour que celui-ci soit compilé AD]
Juste, pour revenir à ce qui se disait avant : ça me perturbe un peu cette histoire de mesure de lebesgue nulle. Car au final on n'a pas dit ce que ça voulait dire de prendre une matrice au hasard, on n'a même pas de loi sur $\R^{nxn}$. C'est comme prendre un réel au hasard, ça veut pas dire grand'chose.
Après, je sais pas ce qu'attend le jury. Soit on dit que c'est de mesure de lebesgue nulle, et puis voilà Soit on peut restreindre les coeff, genre les prendre uniformément sur $[0,1]$, et démontrer que là dedans c'est de mesure nulle (ce qui doit revenir au même pour la démo). Ca me semble a priori plus rigoureux, et "intuitivement" ça change pas grand chose : y'a la même "proportion" de matrices non inversibles à coeff dans $[0,1]$ que dans $\R$ (enfin, on retombe toujours sur un truc vaseux au final ).
Qu'auriez-vous dit???
Si $\mu$ est une mesure (non finie) sur $\R^n$, je pensais donc à quelque chose du genre $\displaystyle{P_\mu (A)=\lim_{r\to +\infty}\frac{\mu(A\cap B(0,r))}{\mu(B(0,r))}}$ et donc prendre la mesure de Lebesgue pour $\mu$.
La clef est que si un polynôme de $\R^n$ s'annule sur $I_1\times ...\times I_n$ avec les $I_i$ des parties infinies de $\R$, alors $P$ est le polynôme nul.
Soit $P\in \R[X,Y]$ un polynôme non nul. On pose $$I=\{y\in \R| \quad \forall x\in \R,\ P(x,y)=0\}.$$ Cet ensemble est fini sinon $P$ s'annulerait sur $\R \times I$, avec $\R$ et $I$ infinis et serait nul. \\
On note $\phi$ la fonction indicatrice de l'ensemble des zéros de $P$.
On a $$\int_{\R}\left(\int_{I}\phi(x,y) \mathrm dy\right)\mathrm dx= \int_{\R}\left(\int_{I} 1 \mathrm dy\right)\mathrm dx=\int_{\R} 0\, \mathrm dx=0.$$
Donc par Fubini ($\phi \geq 0$) $$\int_{I}\left(\int_{\R}\phi(x,y) \mathrm dx\right)\mathrm dy=\int_{\R}\left(\int_{I}\phi(x,y) \mathrm dy\right)\mathrm dx=0.$$
De plus, si $y \notin I$, la fonction polynomiale $x \mapsto P(x,y)$ est non nulle et donc s'annule un nombre fini de fois, ce qui implique que la fonction $x \mapsto \phi(x,y)$ est nulle presque partout. Ainsi $$\int_{\R \setminus I}\left(\int_{\R}\phi(x,y) \mathrm dx\right)\mathrm dy=0$$.
Comme $\R^2= \left((\R \setminus I) \times \R \right)\, \cup \, \left(I\times \R\right)$, on a $$ \int_{\R^2}\phi =\int_{\R \setminus I}\left(\int_{\R}\phi(x,y) \mathrm dx\right)\mathrm dy + \int_{I}\left(\int_{\R}\phi(x,y) \mathrm dx\right)\mathrm dy=0.$$
Si quelqu'un peut confirmer...
Il me semble clair que la première chose à dire est que ça n'a a priori pas de sens (ça n'a pas de sens canonique). Ensuite on peut se contenter de donner quelques sens possibles.
IL y a des choix naturels par exemple les sous-groupes compacts ( -> mesure de Haar).
Cela dit tirer "au hasard" une matrice dépend évidemment de la loi de proba. Exemple si la loi est discrète et à support sur l'ensemble infini des matrice singulières de $C^n$ alors une matrice tirée "au hasard" est singulière avec la probabilité 1. Quand on tire "au hasard" sur $K^n$ avec $K=R$ ou $K=C$ l'usage courant est de considérer une loi absolument continue c'est à dire donnée par une densité de proba. Le résultat qui a été montrée ici est que quelque soit la densité, c.a.d la loi absolument continue, la proba d'une matrice de $C^n$ d'être singulière est nulle puisque l'ensemble des matrices singulières est de mesure de Lebesgue nulle. L'usage
de considérer des lois de probas absolument continues provient essentiellement de la physique (thermodynamique, physique quantique par exemple)
> Lors des réponses j'ai vu apparaitre le mot
> canonique, souvent employé. Pour ma part je
> n'utilise pas ce terme sauf pour l'usage de
> langage base canonique de $K^n$, n'en connaissant
> pas une définition précise ou même imprécise.
> Quelqu'un est il en mesure de me dire, ou de me
> donner un exemple, de ce qu'est un objet ou une
> notion "canonique"? Pour la base dite canonique de
> $K^n$ (quand K est un corps) qu'a donc de
> particulier cette base par rapport aux autres
> bases?
1. CANONIQUE; adj. 1. \ldots\ 3. \textsc{math}. Se dit de la forme naturelle, intrinsèque, principale de certains êtres ou de certaines représentations mathématiques. — {\it Injection canonique :} application d'une partie d'un ensemble dans cet ensemble qui, à tout élément de cette partie, associe l'élément lui-même. ({\it La Petit Larousse ILLUSTRÉ}, 1993)
L'usage veut que, souvent, parmi tous les êtres mathématiques recouvrant une notion donnée, l'un d'entre eux soit distingué par le qualificatif de "canonique" : l'injection canonique d'un sous-ensemble dans un ensemble, la surjection canonique d'un ensemble sur un de ses quotients, la forme canonique du trinôme, la base canonique de $\R^n$, le produit scalaire canonique sur $\R^n$ \ldots
Lorsque Yop écrit :
"Il me semble clair que la première chose à dire est que ça n'a {\it a priori} pas de sens (ça n'a pas de sens canonique)."
il veut dire qu'il n'y pas la formulation utilisée n'a pas de sens déterminé par l'usage commun des mathématiciens, et qu'il faut donc préciser le sens que l'on entend lui donner dans chaque cas particulier.
Quant à la base canonique de $K^n$, elle n'a rien de particulier par rapport aux autres base, mais la communauté mathématique a décidé de lui accorder ce qualificatif, peut-être parce qu'elle est la plus utilisée.
Merci
peux-tu développer ?
Merci
Mais bon, je trouve que c'est un peu un gadget cette histoire d'arc de cercle. C'est vrai que l'argument de cardinalité est sympa et que le résultat est joli en soi, mais on voit tout de suite que $\R^2 \setminus \Q^2$ est connexe par arcs, pour aller d'un point à un autre il suffit de se déplacer d'abord horizontalement puis verticalement (ou l'inverse) et on évite $\Q^2$.
Pour adsj : très sioux ta preuve ; je ne suis pas à l' aise avec Fubini et si j' admets qu' on peut l' utiliser à bon droit, ta demo me semble juste. Intuitivement, un ensemble algébrique affine de k^n me semble pas bien gros. Ce sont d' ailleurs les fermés de Zariski et leurs compléméntaires sont (ouverts) denses dans k^n. Tu as confirmé cela, cette fois ci au sens de la mesure...
imagine que le jury te demande :
{\it soit $P(X_1,X_2,X_3..)$ un polynôme à n indéterminées. On "tire au hasard" un n-uplet de nombres complexes $(x_1, x_2,..,x_n)$. Quelle probabilité a-t-on que ce n-uplet soit un zéro de P (ie $P(x_1,..,x_n)=0$ ?}
A ce propos, d'ailleurs, il me vient une question qui semble rigolote.
Vous savez sûrement que si un ensemble fini de polynômes (sur un anneau $K[X_1,...X_n]$) n'engendre pas l'anneau entier, il existe un zéro commun dans la clôture algébrique de K
Il est presque trivial (pas trivial, mais c'est la même preuve) que c'est vrai aussi pour un nombre dénombrable d'indéterminées, et de polynômes et pour un corps K non dénombrable.
... Je vais créer un fil pour cette seule question
Question: peut-on se passer de l'hypothèse K non dénombrable ?
Tant que tu as un doute, c'est que ça va pas... La force est en toi. Fais la liste des axiomes (toutes les affirmations explicites ou tacites de ta démonstrations) utilisés dans ta preuve et choisis ceux sur lesquels tu as un doute. On te dira si on y croit....
Au lieu de dire "choisie au hasard" on aurait pu dire "génériquement est ce que la propriété.... est vraie ?
On peut donner au moins 3 sens à la générécité :
au sens de la cardinalité
au sens de la topologie (Baire)
au sens de la théorie de la mesure ( Lebesgue)
Evidemment il n'y a pas de corrélation entre ces "différentes visions" des choses ( regarder par exemple le triadique de Cantor... négligeable au sens de la théorie de la mesure mais pas au sens de la cardinalité...).
A cette question du jury à vous de "choisir" une "vision"... Mais à mon avis le jury ira voir aussi dans d'autres directions :-p
Si tu as des références originales, je suis preneur (à part un cours classique sur Baire...).
Pour ce qui est de la généricité au sens de la cardinalité, je suppose que le cadre est $E$ un ensemble qui a la puissance du continu et alors une partie $F$ de $E$ est dite négligeable si elle est au plus dénombrable.
Pour la question initiale du fil, ce n'est pas le bon point de vue, puisque l'ensemble des matrices non inversibles n'est pas dénombrable.
Tu as dit "évidemment, il n'y a pas de corrélation", je trouve que ce n'est pas du tout évident...
Pour te compléter, il existe des Cantor de mesure non nulle, et comme ce sont des fermés sans intérieur, cela montre qu'il existe des ensembles négigeables au sens de la topologie mais pas au sens de la mesure.
ces notions sont issues d'un cours de prepa agreg de Montpellier de Michel Alessandri ....
Par contre je ne sais pas quelle est sa biblio pour faire ce cours.
J'ai enregistré sur le serveur d'exercices cette question qui m'a été posée à l'oral. Il faut peut être resituer : il s'agit d'une leçon sur la densité, et je viens de dire que $GL_n(\mathbb{C})$ est dense dans $M_n(\mathbb{C})$. L'un des examinateurs enchaîne donc : "Et alors si je prends une matrice au hasard, elle va être inversible ?". \\
Je lui dis qu'il faut faire attention, que par exemple $\Q$ est dense dans $\R$, mais de mesure de Lebesgue nulle. (Ainsi, je suppose que j'ai fixé le sens du "au hasard" que l'on conservera jusqu'à la fin de la discussion). \\
L'examinateur a l'air content. Il me demande alors ce que l'on peut dire pour les matrices inversibles. Je crois me souvenir que j'affirme que l'ensemble des matrices non inversibles est de mesure nulle. Ensuite, on le montre en utilisant Fubini et en complétant un $(n-1)$ uplet de vecteurs par un vecteur lié. \\ \\
Bon, ça fait plus de cinq ans maintenant !
Comme je ne sais pas le faire en latex, j'appelle aleph1 en toute lettre le premier oridnal non dénombrable...
On suppose comme axiome supplémentaire (à ZFC) que {\bf toute partie de $\R$} de cardinal {\bf au plus} Aleph1 est de mesure {\bf de} Lebesgue nulle. Autrement dit, pour toute application $f$ de Aleph1 dans $\R$ il existe un ensemble T de mesure de Lebesgue nulle telle que $f(\alpha)$ appartient à T quelquesoit l'ordinal $\alpha$ appartenant à Aleph1.
Est-ce que ça implique que toute réunion d'au plus Aleph1 droites du plan est aussi de mesure de Lebesgue nulle?
que signifie "tout ensemble de cardinal Aleph1 est de mesure Lebesgues nulle" ?
Merci
Je te demande avant parce que selon ta réponse, j'écris 3 lignes ou 10 pages et ça fait une différence...
Je vais essayer, en attendant, de faire des modifs ds le msg initial pour qu'il soit plus clair
M'étonnerais fort que quelqu'un comme Yop ait besoin qu'on lui définisse le cardinal ou qu'il soit gêné par aleph1, et encore plus qu'il ne comprenne pas "être de mesure nulle"...
Par contre, il a posé une bonne question..
Pardonne-moi à nouveau (combien de fois devrai-je te dire ça?), mais je suis nouveau sur ce forum (2 jours à peu près)
Oui depuis que j'ai posté le msg précédent, j'ai vu l'érudition de Yop dans d'autres posts, mais je ne pense pas qu'il m'en voudrait, lui, de m'entendre lui demander à partir d'où je dois définir mes mots... C'est pour bien faire
Je ne comprends pas bien ton agressivité récurrente, je ne t'ai pas manqué de respect, même si tu t'as peut-être un peu vite énervé dans le fil MQ et mondes paralleles
Donc, Yop, es-tu content depuis que j'ai corrigé les fautes de frappe?
Afin d'expier, Aleg, j'ai mis ce que j'avais oublié en gras, pour racheter, chez toi et de ta part, une impression de non condescendance... Suffira-ce?
Mais je ne vois pas de condescendance*** dans quelques propos que j'ai tenu, dans quelques fils que ce soit, ici... Signale-les moi au besoin, que je me remette en cause...
*** parler à tort et à travers, je veux bien le concéder, "me la peter" à la manière des ados, aussi, à la rigueur, mais de la condescendance... C'est un "sentiment" qui m'est réellement bien étranger!
Si oui, tu es donc en train de démontrer qu'elle est fausse ?
[La case LaTeX AD]
[Je sais, mais figure-toi que quand je postais avec la case LaTeX, j'avais une erreur sur le forum. C'est peut-être ma connexion ]
Dès le départ, {\bf je la suppose fausse} en disant que les parties de $\R$ de mesure non nulle au sens de Lebesgues ne peuvent pas être de cardinal inférieur ou égal à $\aleph_1$ (je tente un code latex lol)
Donc, après ça, ça devient un bon pari d'en déduire sa fausseté, mais la question posée n'est pas là!
J'ai supposé plus que sa fausseté de toute façon. Si j'avais supposé exactement sa fausseté, j'aurais juste dit que les parties de $\R$ de cardinal au plus $\aleph_1$ ont un complémentaire non vide
La question posée demande si, de cette supposition on peut déduire que les réunions de pas plus de $\aleph_1$ droites dans le plan est lui aussi un ensemble de mesure nulle (au sens de Lebesgues). A remarquer, of course que ce n'est pas une question uniquement cardinale. Une seule droite contient la puissance du continu points
Juste par curiosité, y'a-t-il un quelconque intérêt à supposer $\aleph_1 \not= \mathfrak{c}$ ? Est-ce que ça donne de beaux résultats pratiques ?
je veux dire, si en général on suppose l'axiome du choix vrai, c'est parce qu'on s'en sert après. Pour l'hypothèse du continu, je n'en connais pas d'application...
Oui, et tout dépend de ce qu'on appelle "intérêt".
Les développements qui ont eu lieu (en particulier l'invention du forcing) depuis les années 70 sont surtout intervenus au niveau de la preuve que HC (l'énoncé qui affirme que leph1=continu) est indépendante de ZFC. Elle est en quelque sorte ultraultra indépendante (indécidable) en ce sens que quelques axiomes "raisonnables" qu'on rajoute, on SAIT pourquoi elle reste indécidable...
Du coup, ni ajouter HC, ni ajouter, nonHC n'est "raisonnable"
De nombreuses utilités, mais, je pense les principales sont de la nature suivante: on prouve facilement un truc en supposant HC, mais le truc en question est "de bas niveau" de coplexité, et donc on en déduit qu'il est prouvable dans ZFC seul. Il reste ensuite à en chercher une preuve dans ZFC... C'est assez fréquent.
En fait, on comprend maintenant très bien ce qui se passe, et c'est surtout de ne rien supposer qui est intéressant ou plutôt supposer que le continu est très très grand!!! En effet, il y amoult cardinaux significatifs:
le premier cardinal d'un recouvrment par des ensembles de mesure nulle: a
le premier cardinal d'un recouvrment par des ensembles de mesure nulle: b
etc, etc. Il y a des trucs (des inégalités du genre cuila est plus petit que cuila) prouvables dans ZFC qui sont hautement non triviaux. Par exemple je crois que $a\leq b$ démontrablement (je ne suis plus sûr, je vérifierai)
J'ai inventé une petite notion tout à fait passionnante qui en gros est celle qui permet de faire la différence entre une théorie contradictoire et une théorie qui implique seulement l'existence de mondes parallèles.
J'ai prouvé en quelques lignes (en utilisant {\bf l'hypothèse du continu}!) qu'il est équivalent de "ne pas contredire la relativité" (j'abrège) que d'être "racontable dans des mondes parallèles" et A.Khelif, un supermathématicien lol a réussi à retirer l'utilisation de l'hypothèse du continu... Mais ça a cessé de faire 10 lignes lol
http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/mathsetlogique/pgn11/node37.html