Une question d'oral d'agrégation

AlainLyon · January 2007

Voici la question effectivement posée : Soit une matrice de $M_n(C)$ choisie "au hasard" peut on dire qu'elle est inversible (i.e avec la probabilité 1)?
Voici des éléments de réponse que je donnerai : l'ensemble des matrices non inversibles est l'ensembles des zéros de la fonction polynome det (i.e le déterminant de variables complexes $x_{i,j}$ : les coeffs de la matrice tirée "au hasard")
Question au jury : "Qu'entendez vous par tirer au hasard, en particulier la loi de proba est elle absolument continue?"
explication : Pour une loi discrète, il peut arriver que le support de la loi soit sur l'ensemble des zéros de la fonction déterminant auquel cas la matrice tirée au hasard est singulière avec la proba 1

Supposons que la réponse faite soit : "la loi est effectivement absolument continue"
il s'agit de montrer que les zéros de la fonction polynome déterminant forment une partie de $C^{n^2}$ de mesure de Lebesgue nulle.

Element de réponse : si $n^2=1$ i.e $n=1$ la réponse est oui (théorème des zéros d'une fonction analytique à une variable, ils sont isolés et dénombrables ce qui donne un ensemble de mesure nulle )

cas général : mes connaissances font défaut en ce qui concerne les zéros d'une fonction analytique à $n^2$ variables, mais intuitivement c'est + ou - une variété
analytique plongée dans $C^{n^2}$ et elle doit être de mesure nulle. Je remarque qu'un tel résultat ne figure pas au programme de l'agrégation. Ma question est donc : quel embryon de démonstration puis je fournir pour répondre à la question?
Le résultat que je pressens a des chances d'être vrai, mais le montrer avec les connaissances du programme de l'agrégation me semble au dessus de mes forces. Quelqu'un a t il une idée pour répondre à la question?

LIAUTARD1 · January 2007

Bonjour

La question relève de la logique:
Tirer au hasard est une expréssion qui a un sens intutif pour des actions concrétes:jeu de pile ou face par exemple

Traduire cette notion dans le language formel des mathématiques n'est pas évident:toute traduction entraine un arbitraire.

Pour un ensemble fini on peut traduire la notion en prenant pour probabilté celle qui donne la meme valeur à chaque élément; cette methode ne peut s'appliquer à un ensemble infini.

Pour un nensemble infini je ne vois pas de mesure qui traduise la notion de tirer au hasard.
pour moi cette notion n'est pas formalisable en ce cas.

cordialement

Guego · January 2007

Je pense qu'il faut montrer effectivement que les matrices singulières forment un ensemble de mesure de Lebesgue nulle dans $M_n(\C) \simeq \C^{n^2}$.

Pour cela, on considère $\phi$ la fonction indicatrice des matrices singulières. Il faut montrer que $\int_{M_n(\C)} \phi = 0$. Mais, si on note $D$ la droite vectorielle engendrée par la matrice identité et $H$ un hyperplan supplémentaire de cette droite (par exemple les matrices de trace nulle), on a, par le théorème de Fubini :
$$\int_{M_n(\C)} \phi = \int_{A\in H} \int_{B \in D} \phi(A+B) = \int_{A\in H} \int_{\lambda \in \R} \phi(A+\lambda I)$$

Or, l'intégrale intérieure est toujours nulle, quelle que soit $A$ (le polynôme caractéristique de $A$ n'a qu'un nombre fini de racines). On conclut.

Nico · January 2007

hum, ce ne serait pas plus simple de montrer que l'ensemble des matrices des matrices non inversibles est d'interieur vide ?

si on prend une famille $(v_i)$ liee de n vecteurs de $\R^n$ de rang r, alors on peut choisir une famille libre de r vecteurs, qu'on peut completer avec (n-r) vecteurs $(v_i')$

donc si on prend une matrice M non inversible de rang r, on peut supposer que ses r premieres colonnes forme une famille libre, et si on lui ajoute la matrice $\lambda.M'$, ou les r premieres colonnes de M' sont nulles, et les (n-r) correspondent aux $(v_i')$, on obtient que la matrice $M+\lambda.M'$ est inversible

or comme on peut prendre $\lambda.\|M'\|$ aussi petit qu'on veut, on a donc que l'ensemble des matrices non inversible est d'interier vide, et donc de mesure nulle

Guego · January 2007

"on a donc que l'ensemble des matrices non inversible est d'interieur vide, et donc de mesure nulle"

C'est l'autre implication qui est vraie, pas celle-là... (il existe des fermés d'intérieur vide et de mesure nulle, comme un Cantor bien choisi par exemple)

Nico · January 2007

effectivement...

par contre ca m'amene a me poser une autre question :
un ensemble d'interieur vide et de mesure non nulle peut-il etre connexe par arcs ?
(on peut voir que l'ensemble des matrices non inversibles est connexe par arcs, mais pas les ensembles de Cantor)

[edit de moi : question stupide...]

RRt · January 2007

Bonjour,

"un ensemble d'interieur vide et de mesure non nulle peut-il etre connexe par arcs ? "

Oui, c'est possible. Par exemple, dans R², considérer l'ensemble des couples (x,y) avec x ou y non rationnel (c'est a dire R²\Q²)

RRt

ADSJ0 · January 2007

Bonsoir, tout d'abord je trouve super la démo de Guego pour prouver que l'ensemble des matrices non inversibles est de mesure nulle. J'ai du coup essayé de faire pareil pour un ensemble algébrique de $\R^n$ , qu'on peut supposer intersection finie des zéros d'un polynôme à $n$ variables.
Soit $A=\{x\in \R^n\mid P(x)=0\}$ et $\phi$ sa fonction indicatrice.
On a $$ \int_{\R^n}\phi(x) \mathrm dx = \int_{\R^{n-1}}\left(\int_{\R}\phi(x_1,x') \mathrm dx_1\right)\mathrm dx'
$$ et l'intégrale du milieu est nulle car la fonction polynomiale $t\mapto \phi(t,x')$ s'annule tout le temps sauf en un nombre fini de valeurs, les racines du polynôme $t\mapsto P(t,x')$. On conclut que $A$ est de mesure nulle, et par suite tout ensemble algébrique qui n'est pas $\R^n$ l'est aussi.

Si quelqu'un peut confirmer...

geo · January 2007

RRt j'au du mal à voir que ton ensemble est connexe par arc, peut tu expliciter d'avantage stp?

merci

ADSJ0 · January 2007

Attention $t\mapsto \phi(t,x')$ n'est pas polynomiale

PS: pour les modérateurs, je n'arrive pas à afficher mon post en latex

[Adsj : Il faut cocher la case LaTeX pour que celui-ci soit compilé

AD]

alekk · January 2007

pour geo: $\mathbb{R}^2 \setminus \mathbb{Q}^2$ est connexe par arc car entre deux points de cet ensemble, on peut trouver une infinité non dénombrable d'arcs de cercle qui les relient. Si chacun de ces arcs de cercle intersectait $\mathbb{Q}^2$, on pourrait trouver une injection de quelquechose de non-dénombrable dans quelquechose de dénombrable ::o

rnl0 · January 2007

Joli ça alekk

(mais je rajouterais : des arcs de cercles disjoints (sauf aux bouts)

)

Juste, pour revenir à ce qui se disait avant : ça me perturbe un peu cette histoire de mesure de lebesgue nulle. Car au final on n'a pas dit ce que ça voulait dire de prendre une matrice au hasard, on n'a même pas de loi sur $\R^{nxn}$. C'est comme prendre un réel au hasard, ça veut pas dire grand'chose.

Après, je sais pas ce qu'attend le jury. Soit on dit que c'est de mesure de lebesgue nulle, et puis voilà

Soit on peut restreindre les coeff, genre les prendre uniformément sur $[0,1]$, et démontrer que là dedans c'est de mesure nulle (ce qui doit revenir au même pour la démo). Ca me semble a priori plus rigoureux, et "intuitivement" ça change pas grand chose : y'a la même "proportion" de matrices non inversibles à coeff dans $[0,1]$ que dans $\R$ (enfin, on retombe toujours sur un truc vaseux au final

).

Qu'auriez-vous dit???

Philippe Malot · January 2007

N'est-ce pas la notion de "densité" qui est utilisée par défaut dans ce genre de problèmes ? Je ne suis pas expert donc je ne saurais dire.
Si $\mu$ est une mesure (non finie) sur $\R^n$, je pensais donc à quelque chose du genre $\displaystyle{P_\mu (A)=\lim_{r\to +\infty}\frac{\mu(A\cap B(0,r))}{\mu(B(0,r))}}$ et donc prendre la mesure de Lebesgue pour $\mu$.

adsj · January 2007

Bonjour je crois avoir enfin prouvé qu'un ensemble algébrique de $\R^n$ est de mesure nulle. J'ai fait la preuve pour $n=2$, mais elle se généralise sans problème.
La clef est que si un polynôme de $\R^n$ s'annule sur $I_1\times ...\times I_n$ avec les $I_i$ des parties infinies de $\R$, alors $P$ est le polynôme nul.

Soit $P\in \R[X,Y]$ un polynôme non nul. On pose $$I=\{y\in \R| \quad \forall x\in \R,\ P(x,y)=0\}.$$ Cet ensemble est fini sinon $P$ s'annulerait sur $\R \times I$, avec $\R$ et $I$ infinis et serait nul. \\
On note $\phi$ la fonction indicatrice de l'ensemble des zéros de $P$.
On a $$\int_{\R}\left(\int_{I}\phi(x,y) \mathrm dy\right)\mathrm dx= \int_{\R}\left(\int_{I} 1 \mathrm dy\right)\mathrm dx=\int_{\R} 0\, \mathrm dx=0.$$
Donc par Fubini ($\phi \geq 0$) $$\int_{I}\left(\int_{\R}\phi(x,y) \mathrm dx\right)\mathrm dy=\int_{\R}\left(\int_{I}\phi(x,y) \mathrm dy\right)\mathrm dx=0.$$
De plus, si $y \notin I$, la fonction polynomiale $x \mapsto P(x,y)$ est non nulle et donc s'annule un nombre fini de fois, ce qui implique que la fonction $x \mapsto \phi(x,y)$ est nulle presque partout. Ainsi $$\int_{\R \setminus I}\left(\int_{\R}\phi(x,y) \mathrm dx\right)\mathrm dy=0$$.

Comme $\R^2= \left((\R \setminus I) \times \R \right)\, \cup \, \left(I\times \R\right)$, on a $$ \int_{\R^2}\phi =\int_{\R \setminus I}\left(\int_{\R}\phi(x,y) \mathrm dx\right)\mathrm dy + \int_{I}\left(\int_{\R}\phi(x,y) \mathrm dx\right)\mathrm dy=0.$$

Si quelqu'un peut confirmer...

Yop0 · January 2007

Le sens à donner à "tirer au hasard".

Il me semble clair que la première chose à dire est que ça n'a a priori pas de sens (ça n'a pas de sens canonique). Ensuite on peut se contenter de donner quelques sens possibles.

IL y a des choix naturels par exemple les sous-groupes compacts ( -> mesure de Haar).

AlainLyon · January 2007

Lors des réponses j'ai vu apparaitre le mot canonique, souvent employé. Pour ma part je n'utilise pas ce terme sauf pour l'usage de langage base canonique de $K^n$, n'en connaissant pas une définition précise ou même imprécise. Quelqu'un est il en mesure de me dire, ou de me donner un exemple, de ce qu'est un objet ou une notion "canonique"? Pour la base dite canonique de $K^n$ (quand K est un corps) qu'a donc de particulier cette base par rapport aux autres bases?

Cela dit tirer "au hasard" une matrice dépend évidemment de la loi de proba. Exemple si la loi est discrète et à support sur l'ensemble infini des matrice singulières de $C^n$ alors une matrice tirée "au hasard" est singulière avec la probabilité 1. Quand on tire "au hasard" sur $K^n$ avec $K=R$ ou $K=C$ l'usage courant est de considérer une loi absolument continue c'est à dire donnée par une densité de proba. Le résultat qui a été montrée ici est que quelque soit la densité, c.a.d la loi absolument continue, la proba d'une matrice de $C^n$ d'être singulière est nulle puisque l'ensemble des matrices singulières est de mesure de Lebesgue nulle. L'usage
de considérer des lois de probas absolument continues provient essentiellement de la physique (thermodynamique, physique quantique par exemple)

gb · January 2007

AlainLyon Écrivait:

> Lors des réponses j'ai vu apparaitre le mot
> canonique, souvent employé. Pour ma part je
> n'utilise pas ce terme sauf pour l'usage de
> langage base canonique de $K^n$, n'en connaissant
> pas une définition précise ou même imprécise.
> Quelqu'un est il en mesure de me dire, ou de me
> donner un exemple, de ce qu'est un objet ou une
> notion "canonique"? Pour la base dite canonique de
> $K^n$ (quand K est un corps) qu'a donc de
> particulier cette base par rapport aux autres
> bases?

1. CANONIQUE; adj. 1. \ldots\ 3. \textsc{math}. Se dit de la forme naturelle, intrinsèque, principale de certains êtres ou de certaines représentations mathématiques. — {\it Injection canonique :} application d'une partie d'un ensemble dans cet ensemble qui, à tout élément de cette partie, associe l'élément lui-même. ({\it La Petit Larousse ILLUSTRÉ}, 1993)

L'usage veut que, souvent, parmi tous les êtres mathématiques recouvrant une notion donnée, l'un d'entre eux soit distingué par le qualificatif de "canonique" : l'injection canonique d'un sous-ensemble dans un ensemble, la surjection canonique d'un ensemble sur un de ses quotients, la forme canonique du trinôme, la base canonique de $\R^n$, le produit scalaire canonique sur $\R^n$ \ldots

Lorsque Yop écrit :
"Il me semble clair que la première chose à dire est que ça n'a {\it a priori} pas de sens (ça n'a pas de sens canonique)."

il veut dire qu'il n'y pas la formulation utilisée n'a pas de sens déterminé par l'usage commun des mathématiciens, et qu'il faut donc préciser le sens que l'on entend lui donner dans chaque cas particulier.

Quant à la base canonique de $K^n$, elle n'a rien de particulier par rapport aux autres base, mais la communauté mathématique a décidé de lui accorder ce qualificatif, peut-être parce qu'elle est la plus utilisée.

adsj · January 2007

Rebonsoir, je voulais juste savoir si mon post plus haut était juste car du coup ça permettrait de montrer que l'ensemble des matrices régulières, le groupe orthogonal, le complémentaire de l'ensemble des matrices diagonalisables à spectre simple sont de mesure nulle...

Merci

geo · January 2007

Alekk comment trouves-tu ton injection car là j'ai du mal à voir qu'un arc de cercle reliant deux points irrationnels ne rencontre pas de rationnel
peux-tu développer ?
Merci

egoroff · January 2007

geo : On ne dit pas que tous les arcs de cercle ne rencontrent aucun point rationnel, mais qu'il existe. C'est forcément le cas car il y a une infinité indénombrable d'arcs, et deux arcs différents ne peuvent pas rencontrer le même point rationnel, donc si pour chaque arc on pouvait choisir un point rationnel dessus on aurait une injection de l'ensemble des arcs vers $\Q^2$ ce qui est impossible.

Mais bon, je trouve que c'est un peu un gadget cette histoire d'arc de cercle. C'est vrai que l'argument de cardinalité est sympa et que le résultat est joli en soi, mais on voit tout de suite que $\R^2 \setminus \Q^2$ est connexe par arcs, pour aller d'un point à un autre il suffit de se déplacer d'abord horizontalement puis verticalement (ou l'inverse) et on évite $\Q^2$.

egoroff · January 2007

PS : Je suis d'accord avec ce qui a été dit sur la "canonicité", j'ajouterais que le fait de disposer d'un objet "canonique" permet aux mathématiciens d'être sûr de parler du même objet. Par exemple un groupe cyclique $G$ d'ordre $n$ possède $\varphi(n)$ générateurs, tous "interchangeables" par des automorphismes (extérieurs), donc a priori pas de choix canonique. Si je dis "soit $x$ un générateur de $G$" et que mon voisin dit la même chose, il est peu probable qu'on ait choisi le même $x$. En revanche s'il s'agit d'un group cyclique particulier, disons $\Z / n \Z$, on peut s'accorder pour dire que le générateur canonique est $1$. C'est pareil pour les bases d'espaces vectoriels quelconques, aucune n'est privilégiée (cette phrase a un sens mathématique précis) mais dans le cas de $\R^n$ on en choisit une par convention, ce qui est possible grâce à la forme particulière des éléments de $\R^n$.

sophie21 · January 2007

Bonjour,

Pour adsj : très sioux ta preuve ; je ne suis pas à l' aise avec Fubini et si j' admets qu' on peut l' utiliser à bon droit, ta demo me semble juste. Intuitivement, un ensemble algébrique affine de k^n me semble pas bien gros. Ce sont d' ailleurs les fermés de Zariski et leurs compléméntaires sont (ouverts) denses dans k^n. Tu as confirmé cela, cette fois ci au sens de la mesure...

christophe chalons · January 2007

C'est dommage de parler de matrices, finalement, on peut relancer le sujet de la manière suivante :
imagine que le jury te demande :

{\it soit $P(X_1,X_2,X_3..)$ un polynôme à n indéterminées. On "tire au hasard" un n-uplet de nombres complexes $(x_1, x_2,..,x_n)$. Quelle probabilité a-t-on que ce n-uplet soit un zéro de P (ie $P(x_1,..,x_n)=0$ ?}

A ce propos, d'ailleurs, il me vient une question qui semble rigolote.
Vous savez sûrement que si un ensemble fini de polynômes (sur un anneau $K[X_1,...X_n]$) n'engendre pas l'anneau entier, il existe un zéro commun dans la clôture algébrique de K
Il est presque trivial (pas trivial, mais c'est la même preuve) que c'est vrai aussi pour un nombre dénombrable d'indéterminées, et de polynômes et pour un corps K non dénombrable.

... Je vais créer un fil pour cette seule question
Question: peut-on se passer de l'hypothèse K non dénombrable ?

adsj · January 2007

Bonjour merci sphie2 pour ta lecture

christophe c · January 2007

adjs a dit Si quelqu'un peut confirmer...

Tant que tu as un doute, c'est que ça va pas... La force est en toi. Fais la liste des axiomes (toutes les affirmations explicites ou tacites de ta démonstrations) utilisés dans ta preuve et choisis ceux sur lesquels tu as un doute. On te dira si on y croit....

cyrille · January 2007

Bonjour,

Au lieu de dire "choisie au hasard" on aurait pu dire "génériquement est ce que la propriété.... est vraie ?
On peut donner au moins 3 sens à la générécité :

au sens de la cardinalité
au sens de la topologie (Baire)
au sens de la théorie de la mesure ( Lebesgue)

Evidemment il n'y a pas de corrélation entre ces "différentes visions" des choses ( regarder par exemple le triadique de Cantor... négligeable au sens de la théorie de la mesure mais pas au sens de la cardinalité...).

A cette question du jury à vous de "choisir" une "vision"... Mais à mon avis le jury ira voir aussi dans d'autres directions :-p

adsj · January 2007

Bonsoir, pour Cyrille. Je te demande par curiosité où tu as entendu parler de ces 3 notions de généricité (un cours, des bouquins...). Est-ce pendant un cours d'agreg...
Si tu as des références originales, je suis preneur (à part un cours classique sur Baire...).
Pour ce qui est de la généricité au sens de la cardinalité, je suppose que le cadre est $E$ un ensemble qui a la puissance du continu et alors une partie $F$ de $E$ est dite négligeable si elle est au plus dénombrable.
Pour la question initiale du fil, ce n'est pas le bon point de vue, puisque l'ensemble des matrices non inversibles n'est pas dénombrable.

Tu as dit "évidemment, il n'y a pas de corrélation", je trouve que ce n'est pas du tout évident...
Pour te compléter, il existe des Cantor de mesure non nulle, et comme ce sont des fermés sans intérieur, cela montre qu'il existe des ensembles négigeables au sens de la topologie mais pas au sens de la mesure.

cyrille · January 2007

bonsoir,

ces notions sont issues d'un cours de prepa agreg de Montpellier de Michel Alessandri ....
Par contre je ne sais pas quelle est sa biblio pour faire ce cours.

adsj · January 2007

ok c'est bien ce qui me semblait. J'étais aussi présent à ce cours. Je pense savoir qui tu es. Tu étais déjà agrégé et tu es un ami de Michel....

Le Furet · January 2007

Adsj, j'allais te dire que j'ai relu ta preuve ce matin et qu'elle me paraissait juste, mais je vois que j'ai été grillé

adsj · January 2007

merci le furet. Je suis content que ça marche... A plus

klabouny · January 2007

Bonjour,

J'ai enregistré sur le serveur d'exercices cette question qui m'a été posée à l'oral. Il faut peut être resituer : il s'agit d'une leçon sur la densité, et je viens de dire que $GL_n(\mathbb{C})$ est dense dans $M_n(\mathbb{C})$. L'un des examinateurs enchaîne donc : "Et alors si je prends une matrice au hasard, elle va être inversible ?". \\

Je lui dis qu'il faut faire attention, que par exemple $\Q$ est dense dans $\R$, mais de mesure de Lebesgue nulle. (Ainsi, je suppose que j'ai fixé le sens du "au hasard" que l'on conservera jusqu'à la fin de la discussion). \\

L'examinateur a l'air content. Il me demande alors ce que l'on peut dire pour les matrices inversibles. Je crois me souvenir que j'affirme que l'ensemble des matrices non inversibles est de mesure nulle. Ensuite, on le montre en utilisant Fubini et en complétant un $(n-1)$ uplet de vecteurs par un vecteur lié. \\ \\

Bon, ça fait plus de cinq ans maintenant !

christophe c · January 2007

Histoire d'être constructif, comme c'est un peu devenu le sujet, {\bf il me semble} que le problème suivant est ouvert depuis très longtemps:

Comme je ne sais pas le faire en latex, j'appelle aleph1 en toute lettre le premier oridnal non dénombrable...

On suppose comme axiome supplémentaire (à ZFC) que {\bf toute partie de $\R$} de cardinal {\bf au plus} Aleph1 est de mesure {\bf de} Lebesgue nulle. Autrement dit, pour toute application $f$ de Aleph1 dans $\R$ il existe un ensemble T de mesure de Lebesgue nulle telle que $f(\alpha)$ appartient à T quelquesoit l'ordinal $\alpha$ appartenant à Aleph1.

Est-ce que ça implique que toute réunion d'au plus Aleph1 droites du plan est aussi de mesure de Lebesgue nulle?

Yop0 · January 2007

Bonjour,

que signifie "tout ensemble de cardinal Aleph1 est de mesure Lebesgues nulle" ?

Merci

christophe c · January 2007

A quel niveau souhaites-tu la réponse? (Je veux dire, dois-je redéfinir ce qu'est le cardinal, etc, ou es-tu juste gêné par "aleph1", ou encore la précision "de cardinal au plus aleph1" te suffit-elle, ou souhaites-tu que je redéfinisse la notion de être de mesure nulle)

Je te demande avant parce que selon ta réponse, j'écris 3 lignes ou 10 pages et ça fait une différence...

Je vais essayer, en attendant, de faire des modifs ds le msg initial pour qu'il soit plus clair

Aleg · January 2007

Chalons, ta condescendance vire au mépris..
M'étonnerais fort que quelqu'un comme Yop ait besoin qu'on lui définisse le cardinal ou qu'il soit gêné par aleph1, et encore plus qu'il ne comprenne pas "être de mesure nulle"...
Par contre, il a posé une bonne question..

christophe c · January 2007

Aleg,

Pardonne-moi à nouveau (combien de fois devrai-je te dire ça?), mais je suis nouveau sur ce forum (2 jours à peu près)

Oui depuis que j'ai posté le msg précédent, j'ai vu l'érudition de Yop dans d'autres posts, mais je ne pense pas qu'il m'en voudrait, lui, de m'entendre lui demander à partir d'où je dois définir mes mots... C'est pour bien faire

Je ne comprends pas bien ton agressivité récurrente, je ne t'ai pas manqué de respect, même si tu t'as peut-être un peu vite énervé dans le fil MQ et mondes paralleles

Donc, Yop, es-tu content depuis que j'ai corrigé les fautes de frappe?

Afin d'expier, Aleg, j'ai mis ce que j'avais oublié en gras, pour racheter, chez toi et de ta part, une impression de non condescendance... Suffira-ce?

Mais je ne vois pas de condescendance*** dans quelques propos que j'ai tenu, dans quelques fils que ce soit, ici... Signale-les moi au besoin, que je me remette en cause...

*** parler à tort et à travers, je veux bien le concéder, "me la peter" à la manière des ados, aussi, à la rigueur, mais de la condescendance... C'est un "sentiment" qui m'est réellement bien étranger!

Le Furet · January 2007

C'est pas du tout (mais alors pas du tout) mon domaine, mais, sauf erreur, l'hypothèse du continu dit que $\aleph_1 = \mathfrak{c}$ (puissance du continu) non ?

Si oui, tu es donc en train de démontrer qu'elle est fausse ?

[La case LaTeX

AD]
[Je sais, mais figure-toi que quand je postais avec la case LaTeX, j'avais une erreur sur le forum. C'est peut-être ma connexion

]

christophe c · January 2007

oui tu as raison pour ce que dit l'hypothèse du continu. Je suppose que tu sais qu'elle est indécidable (sauf si ZFC est contradictoire)

Dès le départ, {\bf je la suppose fausse} en disant que les parties de $\R$ de mesure non nulle au sens de Lebesgues ne peuvent pas être de cardinal inférieur ou égal à $\aleph_1$ (je tente un code latex lol)

Donc, après ça, ça devient un bon pari d'en déduire sa fausseté, mais la question posée n'est pas là!

J'ai supposé plus que sa fausseté de toute façon. Si j'avais supposé exactement sa fausseté, j'aurais juste dit que les parties de $\R$ de cardinal au plus $\aleph_1$ ont un complémentaire non vide

La question posée demande si, de cette supposition on peut déduire que les réunions de pas plus de $\aleph_1$ droites dans le plan est lui aussi un ensemble de mesure nulle (au sens de Lebesgues). A remarquer, of course que ce n'est pas une question uniquement cardinale. Une seule droite contient la puissance du continu points

Le Furet · January 2007

Ok, j'avais mal compris le problème.

Juste par curiosité, y'a-t-il un quelconque intérêt à supposer $\aleph_1 \not= \mathfrak{c}$ ? Est-ce que ça donne de beaux résultats pratiques ?

je veux dire, si en général on suppose l'axiome du choix vrai, c'est parce qu'on s'en sert après. Pour l'hypothèse du continu, je n'en connais pas d'application...

christophe c · February 2007

Je te cite en cochant latex pour comprendre: {\it Juste par curiosité, y'a-t-il un quelconque intérêt à supposer $\aleph_1 \not= \mathfrak{c}$ ? Est-ce que ça donne de beaux résultats pratiques ? }

Oui, et tout dépend de ce qu'on appelle "intérêt".
Les développements qui ont eu lieu (en particulier l'invention du forcing) depuis les années 70 sont surtout intervenus au niveau de la preuve que HC (l'énoncé qui affirme que leph1=continu) est indépendante de ZFC. Elle est en quelque sorte ultraultra indépendante (indécidable) en ce sens que quelques axiomes "raisonnables" qu'on rajoute, on SAIT pourquoi elle reste indécidable...

Du coup, ni ajouter HC, ni ajouter, nonHC n'est "raisonnable"

De nombreuses utilités, mais, je pense les principales sont de la nature suivante: on prouve facilement un truc en supposant HC, mais le truc en question est "de bas niveau" de coplexité, et donc on en déduit qu'il est prouvable dans ZFC seul. Il reste ensuite à en chercher une preuve dans ZFC... C'est assez fréquent.

En fait, on comprend maintenant très bien ce qui se passe, et c'est surtout de ne rien supposer qui est intéressant ou plutôt supposer que le continu est très très grand!!! En effet, il y amoult cardinaux significatifs:

le premier cardinal d'un recouvrment par des ensembles de mesure nulle: a
le premier cardinal d'un recouvrment par des ensembles de mesure nulle: b

etc, etc. Il y a des trucs (des inégalités du genre cuila est plus petit que cuila) prouvables dans ZFC qui sont hautement non triviaux. Par exemple je crois que $a\leq b$ démontrablement (je ne suis plus sûr, je vérifierai)

christophe c · February 2007

Un exemple (je vais faire mon branleur) typique est un de mes théorèmes. Dans le fil sur les mondes parallèles, j'ai décrit des téléphones.

J'ai inventé une petite notion tout à fait passionnante qui en gros est celle qui permet de faire la différence entre une théorie contradictoire et une théorie qui implique seulement l'existence de mondes parallèles.

J'ai prouvé en quelques lignes (en utilisant {\bf l'hypothèse du continu}!) qu'il est équivalent de "ne pas contredire la relativité" (j'abrège) que d'être "racontable dans des mondes parallèles" et A.Khelif, un supermathématicien lol a réussi à retirer l'utilisation de l'hypothèse du continu... Mais ça a cessé de faire 10 lignes lol

christophe c · February 2007

Voici le lien vers ce théorème
http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/mathsetlogique/pgn11/node37.html

Une question d'oral d'agrégation

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3