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Décomposition de Dunford

Envoyé par loupiot 
loupiot
Décomposition de Dunford
il y a sept années
Bonjour,
en lisant le rapport de l'agreg 2004, à propos de la décomposition de Dunford de la matrice A en D + N, je ne comprends pas la phrase suivante:
"Il est bon d'indiquer que D et N sont des polynômes de A"
Qu'est ce que cela veut dire ?
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
Cela veut dire que dans la décomposition de Dunford D=P(A) et N=Q(A) où P(X) et Q(X) sont des polynômes.
loupiot
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
Merci Menagex pour ta réponse.
D'accord, suite à recherche, je constate qu'effectivement ce sont des polynômes construits à partir du polynôme minimal. Mais, pourquoi est-ce important de préciser ceci ? Je ne vois que l'apport automatique de la commutativité de D et N. Y a-t-il autre chose ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept années et a été effectuée par Alain Debreil.
Si c'est utile, quelques pages sur Dunford.

Bonne journée
[attachment 5511 Pagesdeanalysematricielle2.pdf]
loupiot
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
Merci beaucoup Jean-Etienne pour le document.
Je vois que l'on se sert des polynomes (et plus précisément de leur commutativité) dans la démonstration de l'unicité de la décomposition. J'imagine que sans cette propriété on n'y arrive pas, donc effectivement, c'est important.
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
Tiens, une petite réflexion qui peut etre utile (c'est une question du rapport de jury) : "est-ce qu'il existe un analogue de la décomposition de Dunford sur $\R$?"
Je précise : dans la version usuelle, on a besoin d'avoir le polynome caractéristique de $f$ scindé afin de pouvoir s'amuser avec les sous-espaces caractéristiques de $f$ et donc aboutir à Dunford.
Cette condition est automatiquement sur $\C$ mais sur $\R$, c'est plus aussi simple. Alors qu'est-ce qu'on fait?


Par contre, on n'a pas forcément besoin de du fait que $d$ et $n$ sont des polynomes en $f$ pour l'unicité. Comme toujours, il y a plusieurs facons de faire mais tu peux par exemple supposer que tu as deux couples qui $(d,n)$ et $(d',n')$ qui verifient Dunford, tu as alors $d-d'=n'-n$ et on peut montrer que $d-d'$ est diagonalisable ($d$ et $d'$ sont diagonalisable, il suffit de montrer qu'ils commutent) et que $n-n'$ est nilpotent (en montrant qu'ils commutent encore une fois, ca tombe tout seul)
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
rombaldi Écrivait:
-------------------------------------------------------
> Si c'est utile, quelques pages sur Dunford.

Où est disponible le pdf entier ?

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
oumpapah
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
pour Ryo

d et d' (resp.n et n') commutent se deduit du fait que ce sont des polynomes en f, mais sans ce fait comment t'y prends tu?

Oump.
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
vu comment on définit $d$ (à partir des espaces caractéristiques), on sait que $d$ est une homothétie sur chaque espace caractéristique. De plus, comme $d'$ et $n'$ commute avec $u=d+n$, $d'$ et $n'$ laissent stables les sous-espaces caractéristiques de $u$. Donc on peut raisonner dans chaque espace caractéristique, ce qui est très facile vu la forme de $d$.
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
Oump parle clairement de Dunford (entre autre) dans RMS-91 numero 7 mars 1981.
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
Oumpapah, je fais exactement comme Alekk le préconise (le "je" est présomptueux, Gourdon fait ainsi et j'aime bien cette démo)

Et pour ce qui est de montrer que $d$ et $n$ sont des polynômes en $f$, je sais ce que fait Ojectif agreg : le théorème chinois nous donne $P$ tel que $P(X)=\lambda_i \pmod{(X-\lambda_i)^{\alpha_i}}$ et on montre que $P(f)(x)=d(x)$ en utilisant le lemme des noyaux.

Mes notations sont, j'espère, à peu près évidentes : les $\lambda_i$ sont les valeurs propres et les $(X-\lambda_i)^{\alpha_i}$ sont les polynômes irréductibles du polynôme caractéristique de $f$.

J'aime mieux faire ainsi plutôt qu'avec les projecteurs qui ne sont pas trop ma tasse de thé
dom
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
Si ça peut aider, un texte sur les nilpotents et les diagonalisables. Si vous avez des idées, je suis preneur pour compléter le doc. En particulier, pourquoi peut on écrire le N de Dunford comme un petit o(D) ?
[attachment 5526 Nilpotent-vs-diagonalisable.pdf]
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
Après toutes ces magnifiques digressions fort intéressantes sur les diverses démonstration de la décomposition de Dunford, et l'utilisation que l'on peut en faire, je reviens à la question initiale :

Loupiot écrivait :
-------------------------------------------------------
> Bonjour,
> en lisant le rapport de l'agreg 2004, à propos de
> la décomposition de Dunford de la matrice A en D +
> N, je ne comprends pas la phrase suivante:
> "Il est bon d'indiquer que D et N sont des
> polynômes de A"
> Qu'est ce que cela veut dire ?

Cela veut dire que, si $E$ est un $K$-espace vectoriel, l'anneau $L(E)$ opère sur $E$ par $(f,x) \mapsto f(x)$, et l'on munit ainsi le groupe $(E,+)$ d'une structure de $L(E)$-module à gauche. De nombreuses propriétés des endomorphismes de $E$ prennent un éclairage nouveau lorsqu'on les interprète dans cette structure.

Lorsque l'on étudie un endomorphisme $u$, $K[X]$ opère alors sur $E$ par $(P,x) \mapsto[P(u)](x)$ et l'on munit ainsi le groupe $(E,+)$ d'une structure de $K[X]$-module, ce qui est fort intéressant parce que $K[X]$ est un anneau principal et que ...

Lorsque l'on indique que $d$ et $n$ obtenus dans la décomposition de Dunford sont des polynômes en $u$, cela signifie que l'on a établi non seulement un résultat dans le $L(E)$-module à gauche $E$, mais dans le $K[X]$-module $E$.
loupiot
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
Merci à tous, et en particulier à gb.
nicolas.patrois Écrivait:
-------------------------------------------------------
> rombaldi Écrivait:
> --------------------------------------------------
> -----
> > Si c'est utile, quelques pages sur Dunford.
>
> Où est disponible le pdf entier ?

Je réitère la demande :D
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
Salut dom tu me reconnaitras, juste pour te féliciter pour ton texte. Un peu de poésie mathématique sur ce forum est appréciable...
Re: Décomposition de Dunford
il y a sept années
oui, bravo pour ce texte qui fait 'sentir' comment les choses se passent ..
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Voici un document que j'ai rédigé autour de la décomposition de Dunford dans lequel je détaille une méthode effective (due à C.Chevalley) permettant de trouver un polynôme qui génère la composante diagonalisable.
Je termine à la fin de ce document pour proser une méthode qui réinvestit les suites de Sturm pour étudier l'éventualité de la décomposition de Dunford sur les endomorphismes semi-simples.
[attachment 28971 article_dunford_rhouma.pdf]
3M
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Bonjour Rhouma, voici un exercice pour vous.

Déterminer la décomposition de Dunford pour la matrice $2n\times 2n$ suivante : $$M=\left( \begin {array}{cc} I_n & X\\
0 & P
\end{array}\right),$$ où $P$ est projecteur.
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
3M @ Et pourquoi vous me donnez cet exercice?
3M
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Je vous rassure, il n'y a pas de "conspiration"
c'était pour vous faire réfléchir, mais cela semble difficile :)
Meu
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Très joli exercice sur lequel jordan pourrait mettre en oeuvre les algorithmes décrits dans son texte.
Louth
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Bonsoir

La partie nilpotente est trigonale en blocs, car c'est un polynome en M
Et ses blocs diadonaux sont nuls
Louth
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
La partie nilpotente de la décomposition de Dunford pour la matrice $2n\times 2n$ donnée est la suivante : $$\left( \begin {array}{cc} 0& XP\\
0 & 0
\end{array}\right)$$ Bonjour et à bientôt.
Louth
Louth
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Bonjour
Déterminer la partie nilpotente de la décomposition de Dunford pour la matrice $2n\times 2n$ suivante : $$M=\left( \begin {array}{cc} P_1&X\\
0&P_2
\end{array}\right),$$ où $P_1$ et $P_2$ sont des projecteurs.
En déduire que les matrices $M$ de la forme ci-dessus qui sont diagonalisables forment un espace affine.
NB : les projecteurs sont fixés et $ X$ variable.

À bientôt.
Louth

[Complété selon ton indication. AD]
Louth
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Bonjour, cordialement
La partie nilpotente de $ M$ est $$\left( \begin {array}{cc} 0& X-P_1X+XP_2 \\
0&0
\end{array}\right),$$ Dire que $M$ est diagonalisable revient à annuler sa partie nilpotente, ce qui donne une condition linéaire en $X$.
Louth
Meu
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
C'est faux.

Revenons à Newton. Vu que les blocs diagonaux sont des projecteurs, la partie diagonalisable de $M$ sera un projecteur. On applique Newton pour trouver une racine de $f(X)=X^2-X$ à partir de $M$.
On a $f(M)=\begin{pmatrix} 0&P_1X+XP_2-X\\ 0&0\end{pmatrix}$, $f'(M)=\begin{pmatrix} 2P_1-I_n&2X\\ 0&2P_2-I_n\end{pmatrix}$ d'où $f'(M)^{-1}=\begin{pmatrix} 2P_1-I_n& ?\\ 0&2P_2-I_n\end{pmatrix}$.
La première étape de Newton donne $D=M-f'(M)^{-1}f(M)=\begin{pmatrix} P_1&P_1X+XP_2-2P_1XP_2\\ 0&P_2\end{pmatrix}$ et puisque $D^2=D$ c'est bien la partie diagonalisable de $M$. La partie nilpotente est $\begin{pmatrix} 0&X-P_1X-XP_2+2P_1XP_2\\ 0&0\end{pmatrix}$.
cigale
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
la partie nilpotente N est de la forme
0 Z
0 0


en écrivant qu'elle commute avec M

on doit avoir P_1Z=ZP_2

on écrit ensuite que M-N annule le polynôme à racines simples X(X-1)
on trouve Z=P_1X+XP_2-X

merci Meu
Meu
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
C'est re-faux ! A t'en croire, la partie diagonalisable de $M$ serait $M-Z= \begin{pmatrix} P_1& 2X-P_1X-P_2X\\ 0&P_2\end{pmatrix}$. Ce n'est pas un projecteur.
cigale
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
j'ai effectivement fait une erreur de calcul
la méthode que j'ai suivie aboutit malgré tout, si l'on jette un coup d'oeil à ton résultat
Louth
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Bonjour et bravo cigale smoking smiley
Voici un autre exo
On part de trois matrices A et B et C.
Quelle est la décomposition de Dunford de la matrice carrée de taille 3n
 A AB AC
 0  0  0
 0  0  0
Bravo Meu pour avoir participé :D



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Meu
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Surtout pour avoir donné une réponse correcte, contrairement à Louth et/ou toi smiling bouncing smiley
Meu
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Essayons plutôt de trouver la décomposition de Dunford de $M=\begin{pmatrix} A&AR\\0&0\end{pmatrix}$, où $A$ est de taille $n\times n$, $R$ de taille $n\times p$ et $M$ de taille $(n+p)\times (n+p)$. La décomposition de Dunford de $A$ va intervenir, bien sûr !
cigale
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
si M est cette matrice d'ordre 3n
sa partie semi-simple est un polynôme en M, soit &P(M)$

mais cette dernière matrice vaut

P(A) P(A)B P(A)C
0 0 0
0 0 0


P(A) est la partie semi-simple de A


bravo Meu pour ce joli exo
Louth
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
voici un exercice inspiré par cigale et Meu

trouver la décomposition de Dunford de la matrice d'ordre 2n suivante $$M=\begin{pmatrix} 0&I+N\\I&0\end{pmatrix},$$où $N$ est une matrice nilpotente de taille $n\times n$

cordialement
Meu
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Ca devient un peu répétitif. On peut, faute de mieux, lancer le brave Newton sur l'équation $X^2-1=0$. Par exemple, si $N$ est de carré nul, on obtient $\begin{pmatrix} 0&I+N/2\\I-N/2&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&N/2\\N/2&0\end{pmatrix}$.
Bon, j'arrête de jouer.
Cigale
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
bonsoir,

il n'y a pas lieu de se lasser cher Meu
chaque fois, on a vu une manière spéciale

C'est dommage de quitter le navire si vite, surtout quand cela devient un peu ardu !

Yes, you can!
Meu
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Oui, mais ça ne m'amuse plus. Je te laisse à tes petits jeux, Cigale-Louth.
Meu
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
Essaie tout de même de ne pas faire trop d'erreurs de calcul. :D
cigale
Re: Décomposition de Dunford
il y a neuf mois
bonjour Meu, qui regarde avec condescendance les jeux d'enfants.

la partie semi-simple de M est
$$\begin{pmatrix} 0&(I+N)^{1/2}\\(I+N)^{-1/2}&0\end{pmatrix} $$
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