Soit G un groupe
Soient A et B deux sous-groupes de G permutables elements par elements (mais non necessairement normaux dans G)
Le produit AB est-il un sous-groupe de G?
On sait que $A$ et $B$ sont des sous-groupes donc ils vérifient:
$1\in A,\ 1\in B$
$\forall(x,y)\in G,\ (x\in A,\ y\in A),\ xy\in A$ idem pour $B$
$\forall x \in G,\ x \in A x^{-1}\in A$
Pour montrer que $AB$ est un sous-groupe faut-il prendre des éléments tels que $(x,x')$ et $(y,y')$ et montrer que :
$(x,x')(y,y')\in AB$
$(x,x') \in G,\ (x,x')\in A,\ (x,x')^{-1}\in A$
On sait que $AB=BA$
d'où :
$(a_1b_1)(a_2b_2)^{-1} = a_1b_1b_2^{-1}a_2^{-1} = a_1(a_3b_3)$ avec
$a_1=a_1$
$ a_3=a_2^{-1}$
$ b_3=b_1b_2^{-1}$
On en conclut que $(a_2b_2)^{-1}\in AB$
Est-ce bon ?
Réponses
$1\in A,\ 1\in B$
$\forall(x,y)\in G,\ (x\in A,\ y\in A),\ xy\in A$ idem pour $B$
$\forall x \in G,\ x \in A x^{-1}\in A$
$(x,x')(y,y')\in AB$
$(x,x') \in G,\ (x,x')\in A,\ (x,x')^{-1}\in A$
J'interprète ton énoncé : AB=BA, alors:
la réponse est oui.
Pour montrer que la loi est interne:
$(a_1b_1)(a_2b_2)=a_1(b_1a_2)b_2=a_1(a'_2b'_1)b_2=(a_1a'_2)(b'_1b_2)$est dans AB.
tu vérifies les autres propriétés qui font que AB est un sous-groupe sur le même schéma.
de plus AB est distingué dans G.
d'où :
$(a_1b_1)(a_2b_2)^{-1} = a_1b_1b_2^{-1}a_2^{-1} = a_1(a_3b_3)$ avec
$a_1=a_1$
$ a_3=a_2^{-1}$
$ b_3=b_1b_2^{-1}$
On en conclut que $(a_2b_2)^{-1}\in AB$
Est-ce bon ?
$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ donc ..., à toi de conclure.
Allez les chtis !
C'est ça, non ?