Exercice sur les groupes abéliens finis.

On fait opérer le sous-groupe de $\mathfrak{S}_p$ engendré par le cycle $\sigma = (1\,2\,\ldots\,p)$ sur $E =\{(x_1,\ldots,x_p) \in G^p ; \prod\limits_{k=1}^p x_k = 1\}$.

Un élément de l'application $(x_1,\ldots,x_p) \mapsto (x_1,\ldots,x_{p-1})$ est une bijection de $E$ dans $G^{p-1}$, donc $E$ a $n^{p-1}$ éléments ($n$ est l'ordre de $G$).
Dans $\mathfrak{S}_p$, $\sigma$ engendre le groupe $\Sigma = \{\sigma, \sigma^2, ..., \sigma^p\}$ d'ordre $p$.
Pour $x$ dans $G$, $\Sigma_x = \{g\in\Sigma ; g.x = x\}$ est un sous-groupe de $\Sigma$, donc d'ordre 1 ou $p$.
Si $\Sigma_x$ est d'ordre $p$, les $p$ éléments $\sigma.x$, $\sigma^2.x$, ..., $\sigma^p.x=x$ sont distincts dans $E$.
Si $\Sigma_x$ est d'ordre 1, alors, pour tout k, $\sigma^k.x = x$, et $x = (a,...a)$ avec $a^p = 1$.
Le deuxième cas est possible, par exemple avec $a = 1$.
Si l'on est $k$ fois dans le premier cas et $m$ fois dans le second, on obtient $\textrm{card}(E) = kp + m$, soit $n^{p-1} = kp + m$ avec $m$ non nul, donc $m$ est multiple de $p$, et le cas $\Sigma_x$ d'ordre 1 est réalisé avec $a \neq 1$.
Un tel $a$ est d'ordre $p$ dans $G$, et engendre un sous-groupe cyclique d'ordre $p$.

C'est corrigé.

Oui je pensais en fait à l'ordre du quotient $\Sigma/\Sigma_x$

Attention on considère des $p$-uplets $(x_1,...x_p)$ avec le produit des éléments égal à 1. On ne peut avoir $x = (a,1,...,1)$ que pour $a = 1$.

Salut,

Sur le serveur d'exercice, j'ai mis, il y a quelques temps, un exercice permettant de prouver le résulat. Je copie/colle :

{\bf Le but de ce problème est de démontrer le théorème de Cauchy :

Soit $H$ un groupe fini d'ordre $n \geq 2$.
Alors pour tout $p$ premier divisant $n$, il existe un élément d'ordre $p$ dans $H$}

Soit $H$ un groupe fini d'ordre $n \geq 2$, de neutre $e$ dont la loi est notée multiplicativement.

{\bf 1.} Soit $r \in \N^{*}$.
On considère $H^{r} = \{h = (h_1,..., h_r) \, ; \, \forall \, i \in \{0 \, , \, ... \, , \, r \} \, , \, h_i \in H \}$
{\bf 1.a.} Calculer $Card(H^{r})$
{\bf 1.b.} On considère $G = < \gamma>$ le sous-groupe de $\mathfrak{S}_n$ engendré par le cycle $\gamma = (1 \, \, 2 \, \, ... \, \, r)$
Calculer $Card(G)$
{\bf 1.c} Pour $\sigma \in G$ et $h = (h_1,..., h_r) \in H^{r}$, on pose
$\sigma \, . \, h = (h_{\sigma (1)} \, , \, ... \, , \, h_{\sigma (r)})$
Démontrer qu'on définit ainsi une action de $G$ sur $H^{r}$



Soit $p$ un entier premier (fixé) divisant $n$.
On considère $r = p$ et on pose $X = \{x = (h_1,..., h_p) \in H^{p} \, ; \, h_1 \, h_2 \, ... \, h_p = e \}$



{\bf 2.} Calculer $Card(X)$ et montrer que $p$ divise $Card(X)$.


{\bf 3.} Montrer que $\forall \, \sigma \in G \, \, \forall x \in X$, on a $\sigma . x \in X$
(Indication : considérer le cas $\sigma = \gamma$ et remarquer que $h_1 \, h_2 \, h_3 \, = \, e \Rightarrow h_2 \, h_3 \, h_1 = h_3 \, h_1 \, h_2 = e$).
Montrer qu'on définit ainsi une action de $G$ sur $X$.


{\bf 4.} Ecrire l'équation des classes de cette action.


{\bf 5.a.} Calculer $Stab_G (e, ...,e)$
{\bf 5.b.} Caractériser les $x \in X$ tels que $Stab_G (x) = G$
{\bf 5.c.} Montrer que si $Stab_G (x) \neq G$ alors $[G \, : \, Stab_G (x)] = p$


{\bf 6.a.} A l'aide de la question {\bf 4.}, en déduire l'existence de $x \in X$ tels que $x \neq (e, ..., e)$ et $Stab_G (x) = G$.
{\bf 6.b.} En déduire le théorème de Cauchy (i.e. montrer qu'il existe dans $H$ un élément d'ordre $p$).


Une question intéressante est alors de se demander comment le théorème de Cauchy est en fait conséquence du théorème de Sylow.




Bon courage.

michaël.

Ca doit être bon.
Objectivement, il n'y a sans doute pas besoin de tant détailler la fin, on peut considérer comme du cours que si l'image d'un élément par un morphisme est d'ordre $k$, alors cet élément a pour ordre un multiple de $k$.
(en effet, $x^n=1\Rightarrow \varphi(x)^n=1\Rightarrow k|n$)