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Le groupe dicyclique d'ordre 12

Envoyé par bs 
bs
Le groupe dicyclique d'ordre 12
il y a treize années
avatar
Bonjour,

1) État des lieux:
Lorsqu'on étudie les groupes non abéliens, d'ordre inférieurs ou égal à 15, on recense:
--> groupes diédraux : D3=S3, D4, D5, D6, D7
--> H8 : quaternionique d'ordre 8,
--> A4 ,... et le groupe dicyclique T, tous deux d'ordre 12.

2)groupe dicyclique T:
Résultats obtenus suite à divers exercices du Delcourt.

$$ T = \langle a, b \mid a^6=1,\ b^2=a^3, \ bab^{-1}=a^{-1} \rangle$$

C'est aussi le produit semi-direct:
$$ T = \Z/3\Z \rtimes_{\phi} \Z/4\Z$$ avec $\phi : \Z/4\Z \rightarrow Aut(\Z/3\Z)$ est défini par $\phi (y)= (x \mapsto x^{-1})$
$y$ est générateur de $ \Z/4\Z$, et $x$ , générateur de $ \Z/3\Z$

Tout élément de $T$ s'écrit alors :$x^iy^j,\ 0\leq i< 3,\ 0\leq j <4$.

3) Questions:
3.1) Pourquoi dicyclique ? [ je sais que di = deux ]
3.2) Delcourt dit : ce groupe possède un élément d'ordre 2 , je suppose $y^2$,
deux d'ordre 3 : certainement:,$x$,$x^2$,
six d'ordre 4,dont $y$ et $y^3$,
et deux d'ordre 6.
Or mes calculs ( faux) m'amènent à huit éléments d'ordre 4;

exemple de calcul :$(xy)^2=(xy).(xy)=xy.xy=x(x^{-1})y=y$ qui est d'ordre 2; donc $(xy)^2$ est d'ordre 4.

Merci de m'expliquer où est mon erreur ? On est prié de ne pas rigoler:)

Amicalement.
gb
Re: Le groupe dicyclique d'ordre 12
il y a treize années
avatar
Au vu de la présentation du groupe
$$T = \langle a, b \mid a^6=1,\ b^2=a^3, \ bab^{-1}=a^{-1} \rangle = \langle a, b \mid a^6=1,\ b^2=a^3, \ ba=a^5b} \rangle$$
Je trouve :
d'ordre 2 : $a^3$
d'ordre 3 : $a^2$ et $a^4$
d'ordre 4 : les $a^kb$, pour $0 \leq k \leq 5$
d'ordre 6 : $a$ et $a^5$

Conformément à ce que dit Delcourt.

On passe de cette présentation au produit semi-direct
$$T = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rtimes_{\phi} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$
par $x = a^2$ et $y = b$, donc on a :
d'ordre 2 : $y^2$
d'ordre 3 : $x$ et $x^2$
d'ordre 4 : $y$, $y^3$, $xy$, $xy^3$, $x^2y$, $x^2y^3$
d'ordre 6 : $xy^2$ et $x^2y^2$
gb
Re: Le groupe dicyclique d'ordre 12
il y a treize années
avatar
Oubli : $T$ est dicyclique signifie que $T$ est une extension d'un groupe cyclique (ici d'ordre 6) par $\Z/2Z$ (c'est le rôle de $b^2$).

Il y a une grande similitude (et des différences importantes) avec le groupe diédral.
bs
Re: Le groupe dicyclique d'ordre 12
il y a treize années
avatar
Merci beaucoup gb, je vais reprendre tes calculs pour bien comprendre.

Quelques autres interrogations:

1) l'appellation $T$ est-elle "contrôlée" ? Que signifie $T$ ?

2) comment as-tu trouvé les relations $x = a^2$ et $y = b$ ?

3) Quelle présentation pour $T$ obtient-on avec les générateurs $x$ et $y$ ?

4) Delcourt généralise cette notion de groupe dicyclique: ce sont les groupes d'ordre $4m$ dont une présentation est:
$$T = \langle a, b \mid a^{2m}=1,\ b^2=a^m, \ bab^{-1}=a^{-1} \rangle $$
Cette fois , ce doit être un PSD $$T = \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \rtimes_{\phi} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$ ?

Alors, quelle présentation pour $T$ obtient-on avec les générateurs $y$ et $z$, où $y$ est générateur de $ \Z/4\Z$, et $z$ , générateur de $ \Z/m\Z$

Peut-on alors aussi calculer les ordres des $4m$ éléments d'un tel groupe dicyclique ?

Merci, merci, merci.
gb
Re: Le groupe dicyclique d'ordre 12
il y a treize années
avatar
Je ne suis pas un spécialiste des groupes dicycliques.

1) Je ne pense pas que $T$ soit une notation universelle.
Déjà pour le groupe diédral de présentation
$$D = \langle a, b \mid a^{2m}=1,\ b^2=1, \ bab^{-1}=a^{-1} \rangle$$
il y a hésitation entre $D_n$ et $D_{2n}$ suivant les auteurs...

2) J'ai écrit la présentation sous la forme
$$T = \langle a, b \mid a^6=1,\ b^2=a^3, \ ba=a^5b \rangle$$
qui indique plus clairement comment on "fait passer les $b$ derrière les $a$" dans un produit, et qui m'a permis de déterminer rapidement les ordres des éléments, en particulier $(a^kb)(a^kb) = a^k(ba^k)b = a^k(a^{5k}b)b = a^{6k}b^2 = b^2$.

Ensuite, $x$ est d'ordre 3, c'est $a^2$ ou $a^4=a^{-2}$, et $y$ d'ordre $4$, c'est l'un des $a^kb$. Comme les choix sont équivalents à isomorphisme près, j'ai choisi les plus simples, $x=a^2$ et $y=b$

3) Pour une présentation en $x$ et $y$ :
$$T = \langle x,y \mid x^3=1,\ y^4 =1, \ yx=x^2y \rangle$$
sauf erreur...

4) Les éléments du groupe sont les $a^k$ et les $a^kb$ avec $0 \leq k \leq 2m$, et la règle du produit $ba = a^{2m-1}b$.
Les ordres des $a^k$ se calculent comme dans tout groupe cyclique...
$(a^kb)(a^kb) = a^k(ba^k)b = a^k(a^{(2m-1)k}b)b = a^{(2m)k}b^2 = b^2 = a^m$.
Donc tous les $a^kb$ sont d'ordre 4.

Pour passer dans ta notation $y$ et $z$, il faut $y$ d'ordre 4, et $z$ d'ordre $m$ : je prends "encore" $y=b$ et $z=a^2$.
La présentation est alors
$$T = \langle x,y \mid z^m=1,\ y^4 =1, \ yz=z^{(m-1)}y \rangle$$

On a "toujours" le produit semi-direct :
$$T = \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \rtimes_{\phi} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$
avec $\phi : \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \rightarrow \textrm{Aut}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$, défini par $\phi(y)= (x \mapsto x^{-1})$.
AD
Re: Le groupe dicyclique d'ordre 12
il y a treize années
avatar
Bonsoir BS

Tout a été dit sur ce groupe d'ordre 12 dicyclique.
En ce qui concerne une présentation déduite du produit semi-direct $G = H \rtimes_\phi K$ avec $\phi \rightarrow Aut(H)$
Il faut voir que pour tout $k\in K,\ h\in H,\ \phi(k)(h) = khk^{-1}$ produit dans $G$, mais qui est dans $H$ puisque $H \lhd G$.
Par exemple si $\{a_i,\ 1\leq i \leq n\}$ est une famille génératrice de $H$, $\phi(k)$ est entièrement défini par sa valeur sur les générateurs $\phi(k)(a_i) = ka_ik^{-1}$ que l'on peut écrire $ka_i = \phi(k)(a_i).k$. Cela fait une relation entre $k$ et les générateurs $a_i$ (puisque $\phi(k)(a_i) \in H$ donc s'exprime en fonction des $a_i$ ).
Cette relation peut être considérée, ainsi que le fait GB, comme une formule de commutation entre $k$ et les $a_i$, amenant $k$ en fin d'expression et les termes de $H$ en tête.
Si maintenant on connait une famille $\{b_j,\ 1\leq j \leq m\}$ génératrice de $K$, alors le morphisme $\phi$ est entièrement déterminé par sa valeur sur les $b_j$. On obtient ainsi toutes les relations entre les générateurs de $H$ et ceux de $K$.
Donc une présentation de $G=H\rtimes_\phi K$ sera :
$$\langle\ a_i,b_j \mid \mathrm{les\ relations\ entre\ les\ }a_i\in H,\ \mathrm{les\ relations\ entre\ les\ }b_j\in K,\ b_ja_i = \phi(b_j)(a_i).b_j \ \rangle$$ $i,j$ variant selon $1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m$

2 exemples de présentation sont donnés dans mon précédent message : [www.les-mathematiques.net]

Alain
AD
Re: Le groupe dicyclique d'ordre 12
il y a treize années
avatar
Re-bonsoir BS

Pour répondre à ta question du jeu 25 janvier 2007 15:23:01
<<
exemple de calcul :$ (xy)^2=(xy).(xy)=xy.xy=x(x^{-1})y=y$ qui est d'ordre 2; donc $ (xy)^2$ est d'ordre 4
>>
Tu sais que $yx = x^{-1}y$, donc il fallait écrire : $\ldots xy.xy=x(x^{-1}y)y=y^2=1$ et $(xy)$ est d'ordre 2.

D'autre part, la présentation $\displaystyle T = \langle a, b \mid a^6=1,\ b^2=a^3, \ bab^{-1}=a^{-1} \rangle$ peut aussi s'écrire :
\begin{center} $\displaystyle T = \langle a, b \mid a^6=1,\ b^4=1,\ b^2=a^3, \ bab^{-1}=a^{-1} \rangle$ \end{center}
qui est redondante, mais a l'avantage de montrer explicitement l'ordre de $b$, et d'autre part qui montre que $T$ est quotient $$T = \frac{\Z/6\Z \rtimes_r \Z/4\Z}{ \langle\ a^3b^{-2}\ \rangle}$$ où $r(b) = (a\mapsto a^{-1})$ et le "dénominateur" est le sous-groupe engendré par $a^3b^{-2}=a^3b^2$.

Alain
bs
Re: Le groupe dicyclique d'ordre 12
il y a treize années
avatar
Bonjour,

merci pour tous ces éclaircissements;
Ce groupe d'ordre 12 dicyclique fait l'objet de 5 exercices différents sur le Delcourt, et c'est en voulant les rassembler en un grand exercice unique , que je me suis posé toutes ces questions, aux quelles quelles vous avez répondues.

gb: quand on est spécialiste de tout, on est nécessairement spécialiste, entre autre, des groupes dicycliques !

Alain: merci d'avoir détaillé le calcul.
J'avais malencontreusement utilisé $y.x=x^{-1}$ qui définit l'action définissant le PSD, au lieu d'utiliser la relation $yx=x^{-1}y$.[ carton rouge ]

Un exemple de groupe d'ordre 12 dicyclique : il est important lorsqu'on parle d'un objet mathématique de façon théorique, d'en exhiber un concrètement.
Toujours Delcourt :Exercice 1.1.21

Groupe engendré par les matrices
(0 -1) = A
(1&nbsp; 0)
et
(j&nbsp; 0) = B
(0 j²)

pour la loi x.

[ ne sais pas encore écrire des matrices en Latex; RAJ: on ne rit pas ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
gb
Re: Le groupe dicyclique d'ordre 12
il y a treize années
avatar
bs &Eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> gb: quand on est spécialiste de tout, on est
> nécessairement spécialiste, entre autre, des
> groupes dicycliques !

Je ne suis spécialiste de rien du tout.


> Un exemple de groupe d'ordre 12 dicyclique : il
> est important lorsqu'on parle d'un objet
> mathématique de façon théorique, d'en exhiber un
> concrètement.

$\mathbb{H}$ est le corps des quaternions, $(1,i,j,k)$ sa base canonique.

Si $a = \cos\dfrac{2\pi}{m} + i\sin\dfrac{2\pi}{m}$ et $b = j$.
Le groupe multiplicatif engendré par $a$ et $b$ est dicyclique d'ordre $4m$.
gb
Re: Le groupe dicyclique d'ordre 12
il y a treize années
avatar
Compléments sur ma réponse précédente : Cela me semblait aller sans le dire, mais cela va mieux en le disant :

1) Les quaternions sont immédiatement interprétables en termes de matrices, et on exhibe donc facilement une réalisation matricielle du groupe dicyclique.

2) La forme même des quaternions $a$ et $b$ montre le lien entre groupe dicyclique d'ordre $4m$ et groupe diédral d'ordre $2m$.
bs
Re: Le groupe dicyclique d'ordre 12
il y a treize années
avatar
Bonjour gb
pour "spécialiste", c'est dit avec respect et smiley.

merci pour cet exemple général de groupes dicycliques d'ordre $4m$.

Un des exercices du Delcourt montre aussi que les groupes quaternioniques $ H_{2^n} $ sont des groupes dicycliques particuliers.

Bonne journée.
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