surjectivité, injectivité

novice · January 2007

Bonjour, soit f une application de (Q,+) dans (Z,+),
Z étant inclus dans Q, peut-on déduire quelque chose sur f à propos de son injectivité ou surjectivité?...
merci

Irtus · January 2007

On ne peut rien en déduire car Q et Z sont equipotents

Le barbu rasé · January 2007

C'est quoi une "application de (Q,+) dans (Z,+)" ?

Je connais bien les applications de Q dans Z, et encore mieux les morphismes de groupe de (Q,+) dans (Z,+) (faut dire pour ces derniers qu'il n'y en a pas beaucoup), mais les "applications de (Q,+) dans (Z,+)" (j'ai bien une idée, puisque + ne désigne jamais qu'un ensemble dans les deux cas, mais à mon avis tu ne penses pas à la même chose)...

novice · January 2007

oui effectivement il s'agit d'un morphisme de groupes

Bruno · January 2007

Bonjour.

Il y a une chose de sûre, quand même. Comme $(\Q,+)$ n'a pas de sous-groupe de torsion, le seul morphisme non injectif de $(\Z,+)$ dans $(\Q,+)$ est le morphisme nul. De plus il n'y a pas de morphisme surjectif car l'image d'un quelconque morphisme est de la forme $\Z a$ où $a$ est l'image de $1$.

novice · January 2007

Oui on devait en conclure que le morphisme était nul effectivement, mais je me demandais, si dans un cas plus général, ou l'un des deux ensembles étaient inclus d'ans l'autre, on pouvait en déduire quelque chose sur l'injec-ou la surjectivité...voilà, merci beaucoup en tout cas.

egoroff · January 2007

Non tu ne peux rien déduire. Regarde par exemple $G=\Z$ et $H=2 \Z$, on a $H \subset G$ et pourtant $f(x)=4x$ définit un morphisme de $G$ dans $H$, injectif et non surjectif.

La bonne méthode c'est celle de Bruno.

surjectivité, injectivité

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