anneau principal

Dans un anneau principal, tout idéal premier non nul est maximal (autrement dit, l'anneau est de dimension 1). Cela doit se démontrer facilement.

Ici, $(X)$ est premier. En effet $A[X]/(X)$ est isomorphe à $A$ qui est intègre car c'est un sous-anneau de $A[X]$ qui est supposé intègre.

Donc $(X)$ est maximal. Donc $A[X]/(X)$, qui est toujours isomorphe à $A$, est un corps

C'était pour étaler un peu ma culture
Ce n'est pas important pour la preuve. C'est la dimension de Krull d'un anneau commutatif : un truc de géométrie algébrique que j'ai vu en maitrise ou en DEA (master pardon).

{\it Dans un anneau principal, tout idéal premier non nul est maximal (autrement dit, l'anneau est de dimension 1). Cela doit se démontrer facilement.}

Je n'ai pas vraiment le sentiment que cela se démontre plus facilement que la question initiale. C'est un peu décaler le problème.





Soit $a \in A$, non nul.


Considérons l'idéal $I=(a,X)$. Par hypothèse, $A[X]$ est principal donc $I$ est monogène. Notons $c$ un générateur de $I$ (c'est à dire un polynôme tel que $I=(c)$).


Comme $a \in I$ on a $a=cP$, pour un certain polynôme $P$. Comme $a$ est non nul, la formule des degrés ($A[X]$ est principal, donc intègre) entraîne que $c$ et $P$ sont de degré $0$, en particulier $c$ est une constante.


De plus $X \in I$ donc il existe un polynôme $Q(X)$ tel que $X=cQ(X)$. Là encore, pour des raisons de degré, $Q(X)$ est de la forme $Q(X)=uX+v$ et on a donc $X=cuX+cv$, donc $cv=0$ et $X=cuX$ et donc $cu=1$ et finalement $1 \in I$.


Il existe donc deux polynômes $b$ et $R$ tels que $ab+XR=1$. Toujours pour des raisons de degré, $R$ est nul et $b$ une constante, donc $a$ est inversible.


[AD : je suis prêt à condenser mes messages si tu estimes que leur longueur excessive nuit à une bonne lisibilité du forum. En attendant, comme je ne suis pas sûr que ce soit la raison de ta modification, je ré-aère celui-ci car je le trouve plus agréable à lire ainsi]