C'était pour étaler un peu ma culture
Ce n'est pas important pour la preuve. C'est la dimension de Krull d'un anneau commutatif : un truc de géométrie algébrique que j'ai vu en maitrise ou en DEA (master pardon).
{\it Dans un anneau principal, tout idéal premier non nul est maximal (autrement dit, l'anneau est de dimension 1). Cela doit se démontrer facilement.}
Je n'ai pas vraiment le sentiment que cela se démontre plus facilement que la question initiale. C'est un peu décaler le problème.
Soit $a \in A$, non nul.
Considérons l'idéal $I=(a,X)$. Par hypothèse, $A[X]$ est principal donc $I$ est monogène. Notons $c$ un générateur de $I$ (c'est à dire un polynôme tel que $I=(c)$).
Comme $a \in I$ on a $a=cP$, pour un certain polynôme $P$. Comme $a$ est non nul, la formule des degrés ($A[X]$ est principal, donc intègre) entraîne que $c$ et $P$ sont de degré $0$, en particulier $c$ est une constante.
De plus $X \in I$ donc il existe un polynôme $Q(X)$ tel que $X=cQ(X)$. Là encore, pour des raisons de degré, $Q(X)$ est de la forme $Q(X)=uX+v$ et on a donc $X=cuX+cv$, donc $cv=0$ et $X=cuX$ et donc $cu=1$ et finalement $1 \in I$.
Il existe donc deux polynômes $b$ et $R$ tels que $ab+XR=1$. Toujours pour des raisons de degré, $R$ est nul et $b$ une constante, donc $a$ est inversible.
[AD : je suis prêt à condenser mes messages si tu estimes que leur longueur excessive nuit à une bonne lisibilité du forum. En attendant, comme je ne suis pas sûr que ce soit la raison de ta modification, je ré-aère celui-ci car je le trouve plus agréable à lire ainsi]
{\it Dans un anneau principal, tout idéal premier non nul est maximal}
Je suis obligé de la démontrer alors
Soit $A$ un anneau principal. Soit $(x)$ un idéal premier non nul de $A$. Alors $x$ est premier. Si on a $(x)\subset (y)$ alors $y$ divise $x$, donc, à un inversible près, $y=x$ ou $y=1$. Et donc $(y)=(x)$ ou $(y)=A$. Donc $(x)$ est maximal.
Réponses
Ici, $(X)$ est premier. En effet $A[X]/(X)$ est isomorphe à $A$ qui est intègre car c'est un sous-anneau de $A[X]$ qui est supposé intègre.
Donc $(X)$ est maximal. Donc $A[X]/(X)$, qui est toujours isomorphe à $A$, est un corps
par contre, je ne comprends pas
"(autrement dit, l'anneau est de dimension 1)" ?? :S
Ce n'est pas important pour la preuve. C'est la dimension de Krull d'un anneau commutatif : un truc de géométrie algébrique que j'ai vu en maitrise ou en DEA (master pardon).
Me voilà rassurée parceque vraiment je ne pigeais pas...
En tout cas merci pour la démo
Je n'ai pas vraiment le sentiment que cela se démontre plus facilement que la question initiale. C'est un peu décaler le problème.
Soit $a \in A$, non nul.
Considérons l'idéal $I=(a,X)$. Par hypothèse, $A[X]$ est principal donc $I$ est monogène. Notons $c$ un générateur de $I$ (c'est à dire un polynôme tel que $I=(c)$).
Comme $a \in I$ on a $a=cP$, pour un certain polynôme $P$. Comme $a$ est non nul, la formule des degrés ($A[X]$ est principal, donc intègre) entraîne que $c$ et $P$ sont de degré $0$, en particulier $c$ est une constante.
De plus $X \in I$ donc il existe un polynôme $Q(X)$ tel que $X=cQ(X)$. Là encore, pour des raisons de degré, $Q(X)$ est de la forme $Q(X)=uX+v$ et on a donc $X=cuX+cv$, donc $cv=0$ et $X=cuX$ et donc $cu=1$ et finalement $1 \in I$.
Il existe donc deux polynômes $b$ et $R$ tels que $ab+XR=1$. Toujours pour des raisons de degré, $R$ est nul et $b$ une constante, donc $a$ est inversible.
[AD : je suis prêt à condenser mes messages si tu estimes que leur longueur excessive nuit à une bonne lisibilité du forum. En attendant, comme je ne suis pas sûr que ce soit la raison de ta modification, je ré-aère celui-ci car je le trouve plus agréable à lire ainsi]
Je suis obligé de la démontrer alors
Soit $A$ un anneau principal. Soit $(x)$ un idéal premier non nul de $A$. Alors $x$ est premier. Si on a $(x)\subset (y)$ alors $y$ divise $x$, donc, à un inversible près, $y=x$ ou $y=1$. Et donc $(y)=(x)$ ou $(y)=A$. Donc $(x)$ est maximal.