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Système d'équations non linéaires

Envoyé par Sisbai 
Système d'équations non linéaires
il y a douze années
avatar
Bonjour

Je galère avec ce système. On me demande de montrer qu'il admet une unique solution.
$$\left\{\begin{array}{rcl}
x^2+y^2+z^2&=&1\\
x^3+y^3+z^3&=&2\\
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=&4 \end{array}\right.$$
Je note :
$$\left\{\begin{array}{rcl}
\sigma_1&=&x+y+z \\
\sigma_2&=&xy+xz+yz\\
\sigma_3&=&xyz
\end{array}\right.$$
Si $(x,y,z)$ est solution alors :
$$\left\{\begin{array}{rcl}
\sigma_1^2&=&1+2\sigma_2\\
\sigma_1^3&=&3\sigma_1+6\sigma_3-4\\
\sigma_2&=&4\sigma_3
\end{array}\right.$$
D'où :
$$\left\{\begin{array}{rcl}
\sigma_1 & &\text{ solution de l'équation }4x^3-3x^2-12x+19=0 \\
\sigma_2&=&\dfrac{\sigma_1^2-1}{2} \\
\sigma_3&=&\dfrac{\sigma_1^2-1}{8}
\end{array}\right.$$
Donc $(x,y,z)$ racines du polynôme $P(X)=X^3-\sigma_1 X^2+\sigma_2 X - \sigma_3$.

Réciproquement, ça bloque !
Théoriquement, si $a_1$ est une solution de l'équation $4x^3-3x^2-12x+19=0$ et si $(x,y,z)$ sont les racines de $P(X)=X^3-a_1 X^2+a_2 X - a_3$, où $a_2=\dfrac{a_1^2-1}{2}$ et $a_3=\dfrac{a_1^2-1}{8}$, alors il me semble que $(x,y,z)$ vérifie le système de départ.

Problème :
D'après différents tests effectués sur Maxima, seule la racine réelle de $4x^3-3x^2-12x+19=0$ convient (et puis le système n'admet selon l'énoncé qu'une solution). Pourquoi pas les deux autres ?

Y a-t-il une autre méthode, complétement différente, pour répondre à la question posée ?
Merci d'avance.

[PS : pourquoi mes tableaux sont-ils centrés alors que j'ai demandé un aligment à gauche (\verb*=\{array\}\{l\}=) ? ]

[Puisque tu utilises un array, tu peux utiliser plusieurs colonnes, on saute d'une colonne à l'autre avec \verb*=&= (clique \verb*=code latex= ci-dessous)
Mais ce serait plus joli avec l'environnement cases ou align (voir le lien ci-dessous). AD]
\lien{[www.les-mathematiques.net]}
Re: Système d'équations non linéaires
il y a douze années
Sans trop regarder, le système est symétrique sur ses variables, donc à moins que les trois valeurs soient identiques (ce qui impliquerait que la valeur commune est 3/4 et ce n'est pas une une solution), à proprement parler il y a plusieurs solutions.

La réponse à ta question est peut-être dans l'énoncé. x y et z sont censés être rééls ou complexes?
Re: Système d'équations non linéaires
il y a douze années
avatar
>x y et z sont censés être rééls ou complexes?

Ce n'est pas précisé !
Mais il me semble qu'il n'y a pas de solution avec x, y et z réels. En effet l'équation (2) ne peut-être vérifiée si la (1) est vérifiée.

Merci déjà d'y avoir jeté un coup d'oeil

a+
bs
Re: Système d'équations non linéaires
il y a douze années
avatar
Bonjour,

Je n'ai vérifié que ta première relation et trouve... comme toi [j'ai modifié]
désolé pour ce message inutile.
$ \sigma_1^2 =1+2\sigma_2 $
Re: Système d'équations non linéaires
il y a douze années
avatar
C'est rien bs ;)

De retour du ski (bien agréable ! petit forfait 3h, puis lasagnes sur une terrasse bien exposée, tarte myrtilles et café... le top !), je découvre peu d'avancés, tant pis.

Au fait pedro_cristian, par unicité de la solution je pense qu'on entend "aux permutations près".

Voulez-vous que j'écrive le détail des calculs ?

En fait je suis quasi-sûr de mes calculs (vérifiés un paquet de fois !). C'est plutôt sur le raisonnement que je crois louper quelque chose.
Je précise que je suis là dessus depuis mercredi ! J'ai fait des tests, refait les calculs, beaucoup réfléchi... et je m'avoue vaincu thumbs up

Help ! (I need somebody...)

a+



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par AD.
Re: Système d'équations non linéaires
il y a douze années
avatar
Au fait merci alain pour ta réponse que je viens juste de voir smoking smiley

En fait je connais les moyens alternatifs (plusieurs colonnes (notamment pour définir des fonctions) ou align).
J'étais juste surpris de la complilation obtenue, alors que Miktex me donne un rendu différent (aligner à gauche comme demandé).

Bon bref rien de grave il faut juste que j'y pense ! (pour les longs messages j'edite d'abord sous TexnicCenter puis une fois satisfait je copie sur le forum).

a+
Re: Système d'équations non linéaires
il y a douze années
avatar
Je confirme tes calculs...
Pour avoir testé avec Maple :
- si on résout directement, Maple trouve des magnifiques RootOf, et si on les fait parler, il trouve 18 solutions (3 paquets de 6 permutations) dont aucune ne comporte que des réels. Les erreurs d'approximation fournissent des valeurs pour lesquelles seuls 2 ou 3 chiffres sont significatifs).
- si on applique ta méthode, on trouve des solutions avec RootOf qui moyennant un petit "allvalues" se transforment en des expression comportant des puissances 1/3 via formule de Cardan... et on obtient les mêmes solutions que précédemment mais avec une précision bien meilleure (de l'ordre de 10^-7).

J'ai bien entendu vérifié que les solutions obtenues convenaient.

Bref, tout ça pour dire que je ne comprends pas ce qui a pu te gêner sur Maxima.
Re: Système d'équations non linéaires
il y a douze années
avatar
Merci bisam

>J'ai bien entendu vérifié que les solutions obtenues convenaient.
C'est là le problème.

Avec maxima une seule solution convenait (celle où $\sigma_1$ est la solution réelle de $4x^3-3x^2-12x+19=0$). Les autres ne convenaient pas, elles ne vérifiaient pas le système de départ.

D'où mon intérogation. En plus comme l'énoncé demande de montrer l'existence et l'unicité, cela avait tendance à confirmer les calculs de Maxima.

Donc tu confirmes qu'il y a 3 solutions (aux permutations près) provenant des trois racines de $p(x)=4x^3-3x^2-12x+19$ ?
Ce qui signifirait que l'énoncé est faux (c'est fréquent, pas de soucis) et que je ne risquais pas trouver d'erreur dans mon raisonnement puisqu'il n'y en aurrait pas.


Merci encore pour tes vérifications thumbs down
JJ
Re: Système d'équations non linéaires
il y a douze années
avatar
Bonjour,

Je voudrais revenir plus précisément à la question initialement posée par Sisbai.
Inutile de recommencer ce qui a déjà été très justement écrit dans les posts précédents. Il a été montré que la somme s=x+y+z est solution de l'équation :
f(s) = 4(s^3)-3(s^2)-12s+19 = 0
L'étude de la fonction f(s) montre aisément qu'il y a une seule racine réelle (s) et que cette racine est voisine de -2 (mais non exactement, Le calcul numérique donne : s=-1,978917430516784 Cependant, il n'est pas nécessaire de connaitre cette valeur pour ce qui suit ).

CAS 1 : Supposons qu'il existe au moins une solution (x,y,z) avec x, y et z réels.
s étant voisin de -2, on en déduit que p = xyz = ((s^2)-1)/8 est voisin de 3/8.
p étant positif et s négatif implique que l'un et un seul des x,y,z ne soit pas du même signe que les deux autres.
- Si x, y positifs et z négatif : z est voisin de -2-x-y dont la valeur absolue est supérieure à 2. L'équation (x^2)+(y^2)+(z^2)=1 ne peut pas être satisfaite. Donc impossible.
- Si x, y négatifs et z positif : -(x+y) est voisin de 2+z qui est supérieur à 2.
Donc au moins l'un de (-x) et (-y) est supérieur à 1. L'équation (x^2)+(y^2)+(z^2)=1 ne peut pas être satisfaite. Donc impossible.
Conclusion : ce CAS 1 est impossible. Il n'existe pas de triplet (x,y,z) réels qui soit solution du problème.

CAS 2 : Supposons qu'il existe au moins une solution (x,y,z) avec deux d'entre eux réels et un complexe.
Alors (1/x)+(1/y)+(1/z) serait un complexe, ce qui est contraire à l'énoncé (=4). Ce cas est donc impossible.

CAS 3 : Supposons qu'il existe au moins une solution (x,y,z) avec un d'entre eux réel et les deux autres complexes.
Ils sont nécessairement des complexes conjugués pour que (1/x)+(1/y)+(1/z) soit réel. Leur somme s=x+y+z est réelle, donc ne peut être que la solution réelle de l'équation 4(s^3)-3(s^2)-12s+19 = 0 soit s voisin de -2 et par suite (xy+yz+zx)=((s^2)-1)/2 est voisin de 3/2 et p=xyz est voisin de 3/8.
x est solution de l'équation :
(x^3)-s(x^2)+(((s^2)-1)/2)x-((s^2)-1)/8)=0
qui s'écrit :
(4x-1)(s^2)-8(x^2)s+8(x^3)-4x+1=0
On peut donc en tirer s en fonction de x (équation du second degré en s) :
soit : s(x)=(4(x^2)+racine(D(x)))/(4x-1)
ou : s(x)= (4(x^2)-racine(D(x)))/(4x-1)
avec D(x)=16(x^4)-(4x-1)(8(x^3)-4x+1)
L'étude des deux formes de fonction s(x) montre que s ne peut pas être voisin de -2 dans le cas de la racine carrée négative.
Dans le cas de la racine carrée positive, l'étude de la fonction s(x) montre qu'il n'y a qu'une seule valeur de x telle que s(x) soit voisine de -2.
(Le calcul numérique donne x= 0,193944958318352 , mais ce n'était pas demandé )

CONCLUSION FINALE : il n'y a qu'une et une seule solution (x,y,z) telle que l'un des trois est réel.

CAS 4 : les trois x, y et z sont complexes. L'étude de ce cas n'est pas demandée. Néanmoins les solutions peuvent être calculées numériquement ainsi que Bisam l'a déjà indiqué.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par AD.
Re: Système d'équations non linéaires
il y a douze années
avatar
Merci beaucoup JJ pour tous ces détails.

Je crois que c'est clair.

Pour le cas 1 j'ai procédé ainsi (cf mail n°3):
Soit $(x,y,z)\in\R^3$ une solution du système.
On a $x^2+y^2+z^2=1$ d'où $|x|\le 1,\ |y|\le 1,\ |z|\le 1$.
Par suite :
$x^3+y^3+z^3\le x^2+y^2+z^2=1$ ce qui contredit l'équation 2.


Encore merci !
JJ
Re: Système d'équations non linéaires
il y a douze années
avatar
OK. Sisbai, c'est encore plus simple que ce que j'avais fait.
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