zéros de polynômes

borde
borde
dans Algèbre
Bonjour,

De temps en temps, je présenterai ici certains articles récents qui me paraissent intéressants.

En voici un, publié à Math Ineq and Appl, concernant l'obtention de couronnes contenant toutes les racines de polynômes quelconques. Sa lecture ne nécessite qu'un bagage normalement acquis par tout étudiant de première année.

\lien {http://www.mia-journal.com/files/9-1/full/09-11.pdf}

Bonne lecture,

Borde.

Réponses

  • Ritchie
    Ritchie
    Très bonne idée!

    Je m'en vais de ce pas lire cet article.

    Bonne continuation,

    Ritchie
  • galax
    galax
    Bonjour Borde,

    J'ai lu ton pdf intéressant.

    Une question qui se pose :

    Quels sont d'autres méthodes de "localisation" de racines d'un polynôme pour lesquels la théorie est aussi élémentaire que celle de ton pdf?

    Sinon, la revue http://www.mia-journal.com/ dans laquelle se trouve ton pfd est bien interessante.

    Sincèrement,

    Galax
  • borde
    borde
    Tiens,

    Mon fil remonte...grâce à Galax !

    Il y a d'autres résultats en ce qui concerne les localisations de racines. Par exemple, on en trouve aussi au JIPAM en lisant des articles de Panaitopol et Stepanescu, par exemple.

    Quant à la revue MIA, elle a surtout l'intérêt d'être en ligne. Je la consulte parfois, même si je trouve qu'il y a beaucoup d'articles sur un même sujet (il fut une époque où les fonctions "starlike" étaient très à la mode...).

    Borde.
  • galax
    galax
    Bonsoir Borde,

    J’espère que cette intervention est dans l’esprit que tu souhaiterai avoir pour ce fil.
    ***

    Voici un résultat du à Jensen (Acta mathem. 36 1913 190) et démontré par Walshem (Comptes rendus du congrès des math., Strasbourg 1920 339-342) mais dont je n'ai pas vu des articles originaux.

    Tout d'abord une définition :

    On sait que des racines non réelles d'un polynôme à coefficients réels P sont toujours conjuguées 2 à 2.
    Soit le segment D qui joint deux racines conjugués. On appelle le cercle de Jensen, le cercle de diamètre D passant par ces 2 racines conjuguées

    Et voici l’énoncé de théorème de Jensen qui est (d’après moi) une jolie généralisation du théorème de Rolle)

    Théorème (Jensen)
    Soit P polynôme réel non constant de d° n ,
    toute racine non réelle de P' se trouve à l'intérieur d'un cercle fermé de Jensen associé à P.



    Je ne sais pas si ce théorème est très connu, mais peut-être quelqu’un voudrait essayer le démontrer.

    Sincèrement,

    Galax
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    les racines de P' sont situées dans l'enveloppe convexe des racines de P (Lucas).
  • galax
    galax
    bonsoir Toto.le.zero,

    Oui, ces deux propriétés se "complètent".
    L'intersection de cercles de Jensen et de l'enveloppe convexe d'un polynôme P permet localiser d'avantage les racines non réelles de P'


    Je viens trouver une référence de Zervos, Spiros P.
    Aspects modernes de la localisation des zéros des polynomes d'une variable    .
    Je l'ai parcouru et sa lecture me semble intéressante:
    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1960_3_77_4/ASENS_1960_3_77_4_303_0/ASENS_1960_3_77_4_303_0.pdf

    Sincèrement,

    Galax
  • christophe c
    christophe c
    Est-ce que quelqu'un pourrait résumer l'état de l'art dans le thème suivant:

    {\it système d'équations polynomiales, on cherche des solutions sur $\R$. On suppose satisfaisante la situation dans $\C$ (qui est presque "idéale" tous les systèmes finis*** ayant des solutions sauf s'il est trivial qu'ils n'ont en pas, on veut ramener un système sur $\R$ à un système sur $\C$}
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • -Omar-
    -Omar-
    Bonjour,

    Merci beaucoup Borde pour l'article. Il est bien intéressant et tombe à pique en ce qui me concerne....

    En ce qui concerne le théorème de Jensen, il est traité en exercice dans le
    Francinou-Gianella "Exercice de mathématiques pour l'agrégation". C'est un résultat connu.

    Amicalement
    Omar
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