Ensemble non vide

Le calcul est presque de trop !
F est non vide puisqu'il contient le polynôme nul.
Voilà

a+

[*** Modéré *** Toto pas de jugement de valeur blessant. AD]

Salut Boris,

Ta dernière remarque me laisse supposer que tu n'as pas saisi ce qu'est un polynôme.

Un polynôme (sur un anneau $A$) est une suite dont tous les termes, sauf un nombre fini, sont nuls.

C'est donc quelque chose de la forme $(a_0, a_1, a_2, ..., a_n, 0, 0, 0, ...)$ où les $a_i$ sont des éléments de $A$.

D'où sort l'indéterminée $X$ ?

Ce n'est qu'une notation qui nous simplifie grandement la vie.
On note $X$ le polynôme suivant : $(0,1,0,0,0, ...)$, i.e. le polynôme tel que $a_1 = 1$ et pour tout $i\neq 1$, $a_i = 0$.

Ensuite, on définit sur l'ensemble des polynômes à coefficients dans $A$ deux lois (une addition et une multiplication) qui lui confèrent une structure d'anneau (et avec la multiplication ainsi définie, on a $X^2 = (0,0,1,0,0,0,...)$, $X^3 = (0,0,0,1,0,0,0,...)$, etc.).

Ainsi, le polynôme $aX^2 + bX + c$ n'est rien d'autre que :
$(0,0,a,0,0,0...) + (0,b,0,0,0,...) + (c,0,0,0,...) = (c,b,a,0,0,0,...)$.
Ce polynôme est donc nul si et seulement $c=b=a=0$^ (puisque le polynôme nul est la suite d'éléments de $A$ identiquement nulle : $(0,0,0,....)$).

C'est succinct, mais j'espère avoir pu t'aider néanmoins.

michaël.

On peut aller plus loin, avec deux polynômes $P$ et $Q$ (suites d'éléments de $A$ avec un nombre fini de termes non nuls, on peut définir, à partir des lois de composition de $A[X]$ le polynôme $P(Q)$ :
si $P = \sum\limits_{k=0}^n a_kX^k$, alors $P(Q) = \sum\limits_{k=0}^n a_kQ^k$.

On peut en particulier calculer $P(X)$, et l'on s'aperçoit que $P(X) = P$.

Bonjour,

Même pas vrai, sauf si l'anneau est commutatif

Pourquoi? J'avoue que je ne vois pas trop pourquoi cette définition ne marcherait pas.

Mickael: {\it Un polynôme (sur un anneau $A$) est une suite dont tous les termes, sauf un nombre fini, sont nuls.

C'est donc quelque chose de la forme $(a_0, a_1, a_2, ..., a_n, 0, 0, 0, ...)$ où les $a_i$ sont des éléments de $A$. }

Si je m'amuse à te citer dans le fil où les gens s'étripent sur {\it les maths vivantes} et le respect des intuitions quitte à payer le prix du flou, je relance "le troll"...


[Christophe : Faire une citation suivie d'une phrase qui n'apporte rien à la discussion : c'est du trolling.
{\bf Tu arrêtes sinon je modère}. AD]