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Ensemble non vide

Envoyé par Boris 
Boris
Ensemble non vide
il y a treize années
Bonsoir,

Je cherche à bien comprendre comment mon prof a montré que l'ensemble que je vais évoquer est non vide. Cela paraît certainement évident, voire trivial, mais j'ai du mal à raisonner.. Peut-être pourrez-vous m'éclairer un peu? smiling smiley

L'ensemble en question est le suivant:

$F=\{P \in \mathbb{R}_2[X]/P(1)=0\}$

On a donc cherché à montrer que $F \not= \emptyset$.
Il a écrit:

$0_{\mathbb{R}_2[X]}=0.X^2+0.X+0$ vérifie $0.1^2+0.1+0=0$

Je sais déjà que la forme générale d'un polynôme du second degré est de la forme $aX^2+bX+c$, $a,b,c \in \mathbb{R}$..
Voilà... Merci d'avance!
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
Bonsoir,

Ton prof a juste montré que le polynome nul ( dont tous les coefficient sont nuls ) appartient à ton ensemble F, qui est donc non vide.
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
avatar
Le calcul est presque de trop !
F est non vide puisqu'il contient le polynôme nul.
Voilà

a+
Boris
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
Je pense que c'était le terme "vérifie" qui m'avait posé problème.. Je préfère "appartient" largement.. :) Bizarrement, j'aurais eu tendance, pour le polynôme nul, à ne pas mettre les coefficients nuls, mais les $X$... Merci!
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
avatar
[*** Modéré *** Toto pas de jugement de valeur blessant. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par AD.
Boris
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
On se passera de tes commentaires...
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
avatar
Salut Boris,

Ta dernière remarque me laisse supposer que tu n'as pas saisi ce qu'est un polynôme.

Un polynôme (sur un anneau $A$) est une suite dont tous les termes, sauf un nombre fini, sont nuls.

C'est donc quelque chose de la forme $(a_0, a_1, a_2, ..., a_n, 0, 0, 0, ...)$ où les $a_i$ sont des éléments de $A$.

D'où sort l'indéterminée $X$ ?

Ce n'est qu'une notation qui nous simplifie grandement la vie.
On note $X$ le polynôme suivant : $(0,1,0,0,0, ...)$, i.e. le polynôme tel que $a_1 = 1$ et pour tout $i\neq 1$, $a_i = 0$.

Ensuite, on définit sur l'ensemble des polynômes à coefficients dans $A$ deux lois (une addition et une multiplication) qui lui confèrent une structure d'anneau (et avec la multiplication ainsi définie, on a $X^2 = (0,0,1,0,0,0,...)$, $X^3 = (0,0,0,1,0,0,0,...)$, etc.).

Ainsi, le polynôme $aX^2 + bX + c$ n'est rien d'autre que :
$(0,0,a,0,0,0...) + (0,b,0,0,0,...) + (c,0,0,0,...) = (c,b,a,0,0,0,...)$.
Ce polynôme est donc nul si et seulement $c=b=a=0$^ (puisque le polynôme nul est la suite d'éléments de $A$ identiquement nulle : $(0,0,0,....)$).

C'est succinct, mais j'espère avoir pu t'aider néanmoins.

michaël.
Boris
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
Bonsoir michael :)

Succinct, succinct... Pas tant que ça tout de même! On ne m'avait jamais exposé les polynômes sous cet angle-là.. En effet, je comprends mieux à présent, le pourquoi du comment si je puis dire. Merci bien de ces précisions!
gb
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
avatar
On peut aller plus loin, avec deux polynômes $P$ et $Q$ (suites d'éléments de $A$ avec un nombre fini de termes non nuls, on peut définir, à partir des lois de composition de $A[X]$ le polynôme $P(Q)$ :
si $P = \sum\limits_{k=0}^n a_kX^k$, alors $P(Q) = \sum\limits_{k=0}^n a_kQ^k$.

On peut en particulier calculer $P(X)$, et l'on s'aperçoit que $P(X) = P$.
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
avatar
{\it Ta dernière remarque me laisse supposer que tu n'as pas saisi ce qu'est un polynôme.
Un polynôme (sur un anneau $A$) est une suite dont tous les termes, sauf un nombre fini, sont nuls.
C'est donc quelque chose de la forme $(a_0, a_1, a_2, ..., a_n, 0, 0, 0, ...)$ où les $a_i$ sont des éléments de $A$.}


Même pas vrai, sauf si l'anneau est commutatif.
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
avatar
Bonjour,

Même pas vrai, sauf si l'anneau est commutatif

Pourquoi? J'avoue que je ne vois pas trop pourquoi cette définition ne marcherait pas.
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
avatar
{\it Pourquoi? J'avoue que je ne vois pas trop pourquoi cette définition ne marcherait pas.}

Désolé, je n'avais pas vu cette réponse.

Bah, une définition n'a pas à "marcher", les différentes définitions équivalentes des polynômes sur un anneau non commutatif ne sont pas équivalentes à celle-ci, c'est tout.

L'indéterminée ne commute pas avec les éléments de l'anneau $A$. En général, on définit l'anneau des polynômes par sa propriété universelle ou éventuellement en quotientant le sous-ensemble des mots sur $A \cup \{(,),+,-,\times,X\}$ auquel on pense par la relation à laquelle on pense (la plus petite qui fait du truc un anneau).

Par ailleurs, le produit défini par Michael ne me semble pas être associatif si l'anneau n'est pas commutatif (je peux me tromper...)
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
Mickael: {\it Un polynôme (sur un anneau $A$) est une suite dont tous les termes, sauf un nombre fini, sont nuls.

C'est donc quelque chose de la forme $(a_0, a_1, a_2, ..., a_n, 0, 0, 0, ...)$ où les $a_i$ sont des éléments de $A$. }

Si je m'amuse à te citer dans le fil où les gens s'étripent sur {\it les maths vivantes} et le respect des intuitions quitte à payer le prix du flou, je relance "le troll"...


[Christophe : Faire une citation suivie d'une phrase qui n'apporte rien à la discussion : c'est du trolling.
{\bf Tu arrêtes sinon je modère}. AD]
Re: Ensemble non vide
il y a treize années
avatar
michael, avec un "h" comme dans Halimi ...
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