Bonjour.
Est ce que l'opération de multiplier une ligne (colonne) avec une constante et additionner le résultat à une autre ligne (colonne) dans matrice peut changer le rang de la matrice?
Merci d'avance.
Cela fournit même une méthode pour trouver le rang :
transformer petit à petit ta matrice en une matrice diagonale avec des 0 ou 1, et compter le nombre de 1 : c'est le rang de la matrice de départ.
Cette opération élémentaire revient à multiplier ta matrice A, à gauche en cas d'opération sur les lignes (M.A), à droite en cas d'opération sur les colonnes (A.M), par une matrice carrée inversible M bien choisie, donc, en regardant les applications linéaires associées à ces matrices, à composerl'application linéaire associée à A par un isomorphisme de matrice M, ce qui (théorème du rang) ne change pas la dimension de l'image.
Je prends de gros risques, j'espère ne pas raconter d'aneries.
bonjour Kris,
C'est presque vrai toutes réponses qu'on t’a donné à cette question.
Mais il a une série d'exceptions de ce type : Multiplier la première ligne par -1 et ajouter ce résultat à la première ligne
Note bien qu’ajouter un multiple d’une ligne à une autre revient
à prémultiplier ta matrice à modifier
par la matrice unité modifiée de la même manière que l’opération sur les lignes que tu souhaite effectuer sur ta matrice .
Dans ce cas la matrice unité modifiée a toujours le déterminant 1, donc ……. (pour éviter toute discussion je suppose que les coefficients de ta matrice sont dans un corps de caractéristique 0).
Réponses
Non, cela ne change pas le rang.
Cela fournit même une méthode pour trouver le rang :
transformer petit à petit ta matrice en une matrice diagonale avec des 0 ou 1, et compter le nombre de 1 : c'est le rang de la matrice de départ.
Cette opération élémentaire revient à multiplier ta matrice A, à gauche en cas d'opération sur les lignes (M.A), à droite en cas d'opération sur les colonnes (A.M), par une matrice carrée inversible M bien choisie, donc, en regardant les applications linéaires associées à ces matrices, à composerl'application linéaire associée à A par un isomorphisme de matrice M, ce qui (théorème du rang) ne change pas la dimension de l'image.
Je prends de gros risques, j'espère ne pas raconter d'aneries.
Tu parles d'une matrice carrée?
C'est presque vrai toutes réponses qu'on t’a donné à cette question.
Mais il a une série d'exceptions de ce type :
Multiplier la première ligne par -1 et ajouter ce résultat à la première ligne
Note bien qu’ajouter un multiple d’une ligne à une autre revient
à prémultiplier ta matrice à modifier
par la matrice unité modifiée de la même manière que l’opération sur les lignes que tu souhaite effectuer sur ta matrice .
Dans ce cas la matrice unité modifiée a toujours le déterminant 1, donc ……. (pour éviter toute discussion je suppose que les coefficients de ta matrice sont dans un corps de caractéristique 0).
Sincèrement,
Galax