sur les corps et les polynômes

La fonction indicatrice de 1 doit donner que A est fini.. pour le fait que c'est un corps je cherche encore..

Bonjour,

Si $A$ est un corps on sait que tout polynôme de
degré $n$ a au plus $n$ racines. Supposons en outre $A$ fini, disons
$A=F_q$. Pour $a=(a_1,\ldots,a_n)\in F_q^n$, en posant
$\phi_a(X_1,\ldots,X_n)=\prod_{i=1}^n[1-(X_i-a_i)^{q-1}]$, on voir que
pour toute application $f :F_q^n\mapsto F_q$, $f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{a\in F_q^n}f(a)\phi_a(x_1,\ldots,x_n)$.
L'application $f$ est de type polynômial.

Réciproquement, comme déjà montré, $A$ est nécessairement intègre. Reste
à voir qu'il est fini. Pour cela soit l'application $f$ définie par
$f(1)=1$ et $f(x)=0$ pour tout $x\not=1$. Il existe un polynôme $g\in
A[X]$ tel que $f(z)=g(z)$ pour tout $z\in A$. Si $A$ est fini, on a $g(x)=0$
pour une infinité de $x\in A$, d'où $g=0$ et $f(1)=g(1)=0$ conduit à
une contradiction. (pour le fait que $g=0$ le voir,si nécessaire, dans
le corps des fractions de $A$).

Ainsi $A$ est intègre et fini. Un résultat classique montre que c'est
un corps.

Amicalement
Omar