Soient x et y deux éléments de G, et soit a un générateur du quotient de G par son centre. On peut écrire x = anx' et y = amy' avec x' et y' deux éléments du centre de G, et n et m deux entiers.
Je te laisse conclure en regardant les produits xy et yx.
Une autre façon de le dire : on utilise les deux remarques
(1) Si un groupe G est engendrée par une partie commutative (c.a.d. dont les éléments commutent deux à deux), alors ce groupe est commutatif.
(2) Si H est un sous-groupe distingué d'un groupe G et si on relève G/H en une partie A de G (c.a.d. que l'application canonique induit une bijection de A sur G/H), alors (H union A) engendre G.
Maintenant, si G/Z(G) est monogène, on relève un de ses générateur en un élément x de G. Alors ({x} union Z(G)) engendre G d'après (2). Et, comme ({x} union Z(G)) est commutative, G aussi d'après (1).
Réponses
Soient x et y deux éléments de G, et soit a un générateur du quotient de G par son centre. On peut écrire x = anx' et y = amy' avec x' et y' deux éléments du centre de G, et n et m deux entiers.
Je te laisse conclure en regardant les produits xy et yx.
(1) Si un groupe G est engendrée par une partie commutative (c.a.d. dont les éléments commutent deux à deux), alors ce groupe est commutatif.
(2) Si H est un sous-groupe distingué d'un groupe G et si on relève G/H en une partie A de G (c.a.d. que l'application canonique induit une bijection de A sur G/H), alors (H union A) engendre G.
Maintenant, si G/Z(G) est monogène, on relève un de ses générateur en un élément x de G. Alors ({x} union Z(G)) engendre G d'après (2). Et, comme ({x} union Z(G)) est commutative, G aussi d'après (1).