résultant de polynômes

Bonjour,

Si $A$ est un anneau intègre, en désignant par $A_n[X]$ l'ensemble des
polynômes de degré $<n$ le résultant $Res(f,g)$ de $f$, de degré $p\ge 1$ et de
$g$ de degré $q$ est défini comme le déterminant de l'application linéaire
$\phi : A_q[X]\times A_p[X]\mapsto A_{p+q}[X] , (u,v)\mapsto uf+vg$.
Ce résultant se calcule à l'aide de la matrice de Sylvester, qui ne
fait intervenir que les coefficients de $f$ et $g$.

En désignant par $K$ le corps des fractions de $A$, $\phi$ est injective
sur $K_q[X]\times K_p[X]$ si et seulement si $Res(f,g)\not=0$. L'injectivité
de $\phi$ sur $K_q[X]\times K_p[X]$ implique son injectivité sur $A_q[X]\times A_p[X]$.
D'autre part, si le résultant est nul, il existe $u\in K_q[X]$ et $v\in
K_p[X]$ tels que $uf+vg=0$. En mettant aux même dénominateur $d $ les
coefficients de $u$ et $v$, on a $du=u_1\in A_q[X]$ et $dv=v_1\in A_p[X]$
tels que $u_1f+v_1g=0$ et $\phi$ n'est pas injective sur $A_q[X]\times A_p[X]$.

Si $f$ et $g$ sont premiers entre eux, la relation $uf+vg=0$ montre que
dans $K[X]$, $f$ divise $v$, soit $v=fh$, puis $u=-gh$. Comme le degré
de $u$ est $<$ que le degré de $g$, et que le degré de $v$ est $<$ que
le degré de $f$, on obtient $h=u=v=0$. Réciproquement si $f$ et $g$
ne sont pas premiers entre eux dans $K[X]$, en désignant par $D$ leur
pgcd, on trouve $g_1$ et $f_1$ dans $K[X]$, $f_1$ de degré $<$ à celui
de $f$ et $g_1$ de degré $<$ à celui de $g$, tels que $f=Df_1$ $g=Dg_1$.
Cela donne $g_1f-f_1g=0$ et une même expression dans $A[X]$ en chassant
les dénominateurs de $f_1$ et de $g_1$.
Le résultant est donc non nul si et seulement si $f$ et $g$ sont premiers entre eux dans
$K[X]$. Ils sont alors premiers entre eux dans n'importe quelle extension $L$
de $K$ et ne peuvent donc avoir aucune racine commune dans une extension
de $K$. Il est bon ici de se rappeller que si $D$ est le pgcd de $f$
et $g$ dans $K[X]$ c'est aussi le pgcd de $f$ et de $g$ dans $L[X]$,
$L$ extension de $K$. Tout cela s'applique bien sûr si l'anneau est factoriel.

Amicalement

Omar