question sur la matrice des vecteurs propres

pluton1 · January 2007

bonjour, j'ai une question très simple concernant la matrice des vecteurs propres d'une matrice carrée définie positive : soit $\mathbf{A}$ cette matrice et $\mathbf{P}$ sa matrice de vecteurs propres :
Avons-nous : $$\mathbf{P}^T\mathbf{AP}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{AP}$$ Je ne me souviens plus de la relation exacte.

Merci,
Pluton

Sisbai · January 2007

Alors sauf délire (faut s'méfier le soir !), si $A$ est une matrice symétrique (éventuellement definie positive mais pas nécessairement), il existe une matrice $P$ orthogonale et une matrice $D$ diagonale (les éléments diagonaux sont les valeurs propres de $A$) telles que $D=P^tAP$
Est-ce ça que tu cherches ?

a+

pluton1 · February 2007

d'où, dans ce cas précis :

$\mathbf{P}^{-1}=\mathbf{P}^T$, c'est bien ça ? Si je me souviens bien, on a alors à faire
à une matrice $\mathbf{P}$ orthogonale.

merci,

Pluton

SXB · February 2007

Mais non! Ceci n'est vrai que si tous les vecteurs propres choisis ont pour norme (induite par le produit scalaire) 1. Autrement dit, c'est vrai ssi
pour toute colonne X de P, tX.X=1.

Et puis il n'y a pas "la matrice de vecteurs propres", P est la matrice dans la base canonique de Rⁿ d'UNE des bases de vecteurs propres existant pour l'endomorphisme de Rⁿ dont la matrice dans la base canonique de Rⁿ est A.

egoroff · February 2007

J'irai même plus loin que SXB dans l'enfonçage de clou : même si on a pris soin de choisir des vecteurs propres normés, on n'est assuré de l'orthonormalité de la base que si toutes les valeurs propres sont simples. Ce que le théorème dit c'est qu'on peut choisir {\bf une} base orthonormale de vecteurs propres.

Et puis pour chipoter : une matrice définie positive tout court ça n'existe pas à ma connaissance, ce qui existe c'est une matrice {\bf symétrique définie positive}.

pluton2 · February 2007

ouep merci, je suis au courant de l'abus de language malapproprié (par définition) sur les matrices de vecteurs propres et tout mais bon, je ne suis pas mathématicien.

question sur la matrice des vecteurs propres

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