bijectivite dans espace de Hilbert

Surjective, c'est par definition v(H)=H.

En fait, tu peux directement montrer que v est un isomorphisme d'espace de Hilbert en utilisant le spectre. Les valeurs spectrales de u sont reelles, donc celles de v ont une partie imaginaire valant 1. Ainsi, 0 n'est pas valeur spectrale et v est un isomorphisme.

(-1)^n diverge, son image par la fonction valeur absolue qui est continue converge vers 1.

{\bf Réponse à la question de Xavier :} non, {\it continue (et linéaire j'imagine) dans un Hilbert n'implique pas d'image fermée.} Prendre par exemple dans $L^2(]0,1],\mathbb{R})$ la multiplication par $x$. L'image est l'ensemble des éléments tels que $f(x)/x$ est dans $L^2$. On peut montrer que cet ensemble est dense dans $L^2(]0,1])$ sans y être égal (les fonctions constantes non nulles n'y sont pas)

{\bf Précision dans la démo de Xavier :} la convergence de la suite $(x_n)_n$ (plus précisément, le fait que la suite $(x_n)_n$ est de Cauchy, et c'est parce qu'un Hilbert est complet que la suite convergera) ne découle pas de la continuité de $v$, mais de sa coercivité, c-à-d du fait qu'il existe $\alpha>0$ (ici $\alpha=1$) tel que $||v(x)||\ge \alpha ||x||$ (l'inégalité est dans l'autre sens que la continuité). Dans ce cas effectivement, le caractère de Cauchy de $(x_n)_n$ découle du fait que la suite $(y_n)_n$ est elle-même de Cauchy (car convergente) et que $||x_n-x_p||\le ||v(x_n-x_p)||=||y_n-y_p||$.

{\bf Quelques remarques.}
Il faut savoir que dans un espace de Hilbert (qui est a priori de dimension infinie sans précisions, car sinon, on parlerait d'espace euclidien), les résultats connus sur les espaces euclidiens ne marchent pas nécessairement. Donc par exemple :
- on ne peut pas utiliser le théorème du rang.
- $(F^{\perp})^\perp\supset F$ (ici utilisé avec $F=0$), mais l'inclusion réciproque n'est vraie que si $F$ est un sous-espace vectoriel fermé.
- le mot 'opérateur' dans un espace de Hilbert est souvent un raccourci pour dire 'opérateur non-borné', c'est-à-dire application linéaire $u$ définie sur un sous-espace vectoriel noté $D(u)$ est appelé domaine de $u$. Mais $u$ n'est pas nécessairement continue (même si $u$ est auto-adjoint). Par exemple, le laplacien $A=- \Delta$, défini sur un espace $D(A)$ contenant l'espace des fonction $C^ {\infty} $, et à valeurs dans $H=L^2$, est un opérateur symétrique $(\Delta f\mid g)=(f\mid \Delta g)$ si $f$ et $g$ sont dans $D(A)$.
- pour un opérateur $u$ non supposé continu, 'symétrique' (ie $(u(x)\mid y)=(x\mid u(y))$) n'est pas exactement synonyme de 'auto-adjoint' (qui signifie 'égal à son adjoint': la définition de l'adjoint est plus compliquée... et peut-être que l'adjoint est défini sur un domaine plus grand que celui de $u$, quand bien même $u$ est symétrique)....

Bref, il faut faire attention, et ne pas trop vite appliquer les réflexes connus en dimension finie...

Pour citer un livre classique en France, voir quelques chapitre du livre de Brezis {\it Analyse fonctionnelle - théorie et applications} publié aux éditions Dunod (avant, c'était Masson)

[Merci à Gilles Benson pour la correction du LaTeX. AD]