endomorphisme symétrique

novice · February 2007

Bonjour, je suis en train de réviser les espaces euclidiens, et je trouve ça très très théoriques!!!
je viens de lire la proposition suivante :
" un endomorphisme symétrique est positif ssi ses valeurs propres sont toutes positives ou nulles"
J'ai bien compris dans la preuve, l'impilcation directe (positif donc vp positives), en revanche, j'ai beaucoup plus de mal avec la réciproque.
Il y a écrit :
Si f symétrique a toutes ses valeurs propres positives ou nulles, soit $B=(b_1,..,b_n)$ une bon de E constituée de vecteurs propres de f. Pour tout x dans E, $(f(x)|x)=\sum_{i=1}^n (b_i)^*(f(x))(b_i)^*(x)$ car B orthonormale

Mais je comprends pas ce dernier passage, c'est possible de l'expliquer ou de l'imager, car je vois pas? ou est ce seulement du cours à apprendre?

gb · February 2007

Cela veut dire que, si les coordonnées de $x$ dans la base $B$ sont $(x_1,...,x_n)$ et celles de $y$ sont $(y_1,...y_n)$, alors, parce que $B$ est orthonormée, le produit scalaire est donné par
$(f(x) \vert x) = \sum\limits_{i=1}^n y_ix_i$
Et pour éviter de donner un nom aux coordonnées des vecteurs dans la base $B$, le scribe a préféré utiliser la base duale $(b_1^*,...b_n^*)$ de $B$, ainsi :
$x_i = b_i^*(x)$ et $y_i = b_i^*(f(x))$.

Cela te convient-il, ou subsiste-t-il des zones d'ombre ?

novice · February 2007

ah oui je comprends mieux, les zones d'ombres persistent maintenant sur les bases duales 8-) mais à moi de jouer!!! je vais aller réviser ça, mais j'ai déjà mieux compris.
On a eu la semaine dernière tout un capes blanc sur les endomorphismes adjoints, et autant dire qu'il y a du boulot!!!
enfin merci pour ton explication, j'ai bien mieux compris

gb · February 2007

Je viens peut-être de comprendre ton problème : une confusion de "notations étoilées".

Dans $(b_1^*,...b_n^*)$, il s'agit d'une base duale, les $b_i^$ sont des formes linéaires sur $E$.

Pour un endomorphisme $u$ de l'espace euclidien $E$, $u^*$ désigne l'endomorphisme adjoint.

novice · February 2007

Non mais dans le devoir il y avait les deux mélangés !!! Rassurez moi la probabilité qu'un sujet ne soit constitué que d'algebre linéaire, comme endomorphismes symétriques, ajdoints, puis bases duales, est très très faible ???

gb · February 2007

Je ne connais pas assez les us et coutumes des concours pour pouvoir te répondre.

ryo · February 2007

Si tu veux revoir tout ca, emprunte le Gourdon d'algèbre à ta bu (au cas ou tu ne connaisses pas, c'est un bouquin de prépa mais de haut niveau, du coup il ressert en agreg et surement au capes aussi), il fait beaucoup de choses par dualité et il y a un chapitre sur les espaces euclidiens (avec cours démontré et exos bien corrigés).

Tu peux aussi jeter un oeil sur le tome d'analyse, histoire de faire les exos bien classiques de série et de fonctions réelles.

Seul défaut, il ne fait pas de géométrie alors que ca tombe pas mal au capes, il me semble :-(

Bruno · February 2007

Novice, je n'avais pas réalisé que tu passais le capes ou l'agreg.

En ce qui concerne la second épreuve du capes, la mode, à l'heure actuelle est plutôt au mélange des genres, géométrie pure et algèbre linéaire et un peu d'arithmétique par exemple ou... Regarde les derniers sujets à télécharger sur le site.

Si tu veux un (très) beau problème d'algèbre linéaire, regarde le second sujet de 1980, à télécharger également sur le site. Pour un mélange géométrie algèbre, le 1979 n'est pas mal et pour géométrie arithmétique, le 1981 vaut son jus (:D

bs · February 2007

Bonjour Bruno,
Quel tir groupé : 1979,80,81!
ils sont corrigés dans le Lévy-Bruhl, merci pour cette recommandation: j'aime les jolis problèmes; d'ailleurs , j'aime tout ce qui est joli.
Bonne journée.

Bruno · February 2007

Bonjour bs.

C'était un bon cru... Sauf pour les candidats vu le triste nombre de places qu'il y avait au concours. En 82 il n'y avait plus que 250 places. La gauche a décidé de créer cette année la session spéciale recrutant des certifiés pour les académies d'Orléans, Lille et Paris (de mémoire).

bs · February 2007

D'accord Bruno: je ne comprenais pas pourquoi il y avait deux pbs d'Algèbre -géométrie en 1982 ( un en juin, et un autre en décembre ).
Merci pour cette explication.