Extensions quadratiques réelles infinies.
Bonjour / Bonsoir.
Un problème d'arithmétique m'amène à la théorie des nombres algébriques et notamment à une question concernant l'extenson algébrique réelle de Q, obtenue en y adjoignant les racines carrées de ses élements positifs.
Comment peut-on montrer simplement que cette extension---à savoir Q(sqrt(Q+))--- n' est pas de degré fini?
Si des personnes ont quelques idées ou intuitions, elles sont bienvenues, le début
de preuve tenté m'apparaissant alambiquée.
Merci d'avance.
Au revoir.
Un problème d'arithmétique m'amène à la théorie des nombres algébriques et notamment à une question concernant l'extenson algébrique réelle de Q, obtenue en y adjoignant les racines carrées de ses élements positifs.
Comment peut-on montrer simplement que cette extension---à savoir Q(sqrt(Q+))--- n' est pas de degré fini?
Si des personnes ont quelques idées ou intuitions, elles sont bienvenues, le début
de preuve tenté m'apparaissant alambiquée.
Merci d'avance.
Au revoir.
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Réponses
- avec la théorie de Kummer.
- avec les entiers algébriques : notons K ton extension et supposons la de degré fini. soit A l'anneau des entiers de K. Pour tout nombre premier p, racine(p) appartient à A. (note : à partir de maintenant, j'ai peur de dire de grosses bétises parce que c'est un peu loin :S). Chaque nombre premier p se ramifie dans A. Donc chaque p divise le discriminant de A. Mais ce n'est pas possible (le discriminant de A n'a qu'un nombre fini de diviseurs).
Merci pour vos promptes réponses, une démonstration traitant cette extension de Q, et n'utilisant pas de ramification est proposée en exercice---exercice 1.6, il me semble me souvenir---du livre d'Antoine Chambert-Loir intitulé Algèbre Corporelle.
Au revoir.