Math et finance
Réponses
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Je pose $x = \dfrac{1}{1+r}$, l'équation s'écrit alors
$$82x + 82x^2 + 102x^3 + 102x^4 - 327 = 0$$
dont je suppose que l'on cherche les racines positives, puisque, si j'ai bien compris, $r$ doit être un taux à calculer.
$f(x) = 82x + 82x^2 + 102x^3 + 102x^4 - 327$ est visiblement strictement croissante sur $[0;+\infty[$ avec $f(0) = -327$ et $f(1) = 41$.
L'équation a donc une unique solution dans $[0,1]$.
Cette équation du quatrième degré pourrait se résoudre par méthodes algébriques, mais la résolvante $41616y^3 - 16728y^2 + 141780y - 40313$ n'a pas de racines sympathiques, et les résultats seront tordus.
Une méthode de résolution approchée conduit à $x \approx 0,9552531275$, donc $r \approx 4,68$ \%. -
>Une méthode de résolution approchée
On peut savoir? Merci d'avance. -
Dichotomie, méthode de Newton, cherche sur Wikipedia ou sur le site, c'est un sujet classique...
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Pour résoudre $f(x) = 0$, j'ai utilisé la méthode de Newton, qui me paraissait bien adaptée : on a $f(1) = 41$ et $f'(1) = 960$, la racine est proche de 1, et la valeur de la dérivée assure une convergence rapide.
Partant de $x_0 = 1$ j'ai calculé par récurrence $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. J'ai obtenu la valeur indiqué avec 5 itérations. -
Une banale interpolation linéaire permet d'avoir une idée du taux:
Si r=0,04, on a x=0,962 et si r=0,05, on a x=0,952
f(0,952)=-2,832
f(0,962)=5,936
L'interpolation linéaire donne x=0,955, soit r=0,047
En général dans ce genre de problème, on a, pour des raisons financières, une idée de l'encadrement du taux.
Il s'agissait ici d'un emprunt à paliers de montant 327, remboursé par 4 annuités: les deux premières de 82 et les deux suivantes de 102.
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