Matrices symétriques et diagonalisabilité.

S.dm · February 2007

Bonjour.

Je suis actuellement sur un exercice d'algèbre bilinéaire :

$S$ et $T$ sont des matrices symétriques réelles et $S$ est définie positive.
Il fallait d'abord montrer qu'il existe $H$ symétrique telle que $S=H^2$. Jusqu'ici, pas de problèmes.
Mais la question suivante est : en déduire que $ST$ est diagonalisable sur $\R$.

Et là je coince ! Pouvez me guider un peu ?
Merci d'avance.

gb · February 2007

$ST = H^2T = H(HTH)H^{-1}$ donc $ST$ est semblable à $HTH$ qui est symétrique réelle donc ...

dms · February 2007

Bonjour,

Merci pour la réponse. Effectivment, cela débloque tout très facilement !
Il y a une petite remarque ensuite : Que dire si $S$ est seulement positive ?
Notre raisonnement ne marche plus.

gb · February 2007

Regarde ce qui se passe avec $S = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$ et $T = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$.

dms · February 2007

Bonsoir,

Merci pour tes réponses gb !

Matrices symétriques et diagonalisabilité.

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 5