espace euclidien - rotation

Xito · February 2007

Salut, pourriez-vous m'aider pour traiter cet exercice :

(E,|) est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3
Soit r une rotation différente de l'identité, d'axe orienté par le vecteur k et de mesure d'angle thétha
Si rho est une rotation de E, déterminer la nature et les élements caractéristiques rho°r°rho^(-1)
A quelle condition nécessaire et suffisante, les rotations r1 et r2 de E commutent ?

Merci de votre aide

gb · February 2007

Si $\rho$ et $r$ sont des rotations, par composition, $\rho r \rho^{-1}$ en est également une. Trouver un vecteur $k_1$ directeur de l'axe n'est pas très compliqué, et en se plaçant dans le plan orthogonal à $k_1$, on détermine une mesure de l'angle $\theta_1$.

Enfin $r_1$ et $r_2$ commutent si, et seulement si $r_1r_2r_1^{-1} = r_2$, ce qui découle facilement de la question précédente.

Erlangen · February 2007

Quelques indications:

- Pour la nature, il suffit d'utiliser le fait que toute isométrie directe de E est une rotation.

- Pour l'axe, écris la condition "x est un point fixe de rho°r°rho^(-1)" sous forme d'équation, puis fais passer rho dans le membre de droite, et interprète le résultat comme une condition sur rho^(-1)(x).

- Pour l'angle, je note D l'axe de r. Prends a dans le plan perpendiculaire à D (passant par l'origine 0) et pose b=r(a). Maintenant, exprime l'angle de r en fonction de ces points, puis regarde leurs images par rho.

- Pour la dernière question, observe que r1°r2=r2°r1 est équivalent à r1°r2°r1^(-1)=r2 et utilise le résultat que tu viens de montrer.

espace euclidien - rotation

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